Câu 1.
Câu hỏi:
Cău bậc hai của 16 là
A. 16 và -16. B. 4 và -4. C. 196. D. -196.
Vui lòng lập luận từng bước.
Câu trả lời:
Căn bậc hai của 16 là các số mà khi nhân với chính nó sẽ bằng 16.
Ta thử các đáp án:
- 16 x 16 = 256 (không đúng)
- (-16) x (-16) = 256 (không đúng)
- 4 x 4 = 16 (đúng)
- (-4) x (-4) = 16 (đúng)
Như vậy, căn bậc hai của 16 là 4 và -4.
Đáp án đúng là: B. 4 và -4.
Câu 2.
Căn bậc ba của 64 là số thực x sao cho x^3 = 64.
Ta thử lần lượt các đáp án:
- Với x = 4: 4^3 = 4 × 4 × 4 = 64. Đúng.
- Với x = -4: (-4)^3 = -4 × -4 × -4 = -64. Sai.
- Với x = 8: 8^3 = 8 × 8 × 8 = 512. Sai.
Vậy chỉ có x = 4 thỏa mãn điều kiện x^3 = 64.
Do đó, căn bậc ba của 64 là 4.
Đáp án đúng là: A. 4.
Câu 3:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
Bước 1: Tính $\sqrt[3]{-27}$:
$\sqrt[3]{-27} = -3$ vì $(-3)^3 = -27$.
Bước 2: Tính $\sqrt[3]{125}$:
$\sqrt[3]{125} = 5$ vì $5^3 = 125$.
Bước 3: Thực hiện phép trừ:
$\sqrt[3]{-27} - \sqrt[3]{125} = -3 - 5 = -8$.
Vậy kết quả của phép tính $\sqrt[3]{-27} - \sqrt[3]{125}$ là -8.
Đáp án đúng là: D. -8.
Câu 4.
Để tính gần đúng $\sqrt{20,24}$ với hai chữ số thập phân, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Nhập vào máy tính cầm tay:
- Đầu tiên, chúng ta nhập $\sqrt{20,24}$ vào máy tính cầm tay.
2. Tính toán:
- Máy tính sẽ cho kết quả là khoảng 4,49889...
3. Lấy hai chữ số thập phân:
- Làm tròn kết quả này đến hai chữ số thập phân, ta được 4,50.
Do đó, đáp án đúng là:
D. 4,50.
Lời giải chi tiết:
- Nhập $\sqrt{20,24}$ vào máy tính cầm tay.
- Kết quả là khoảng 4,49889...
- Làm tròn đến hai chữ số thập phân, ta được 4,50.
Vậy đáp án đúng là D. 4,50.
Câu 5.
Để tìm giá trị của \( A^2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Rút gọn biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{\sqrt{45} + \sqrt{20}}{\sqrt{180} - \sqrt{80}}
\]
2. Rút gọn các căn bậc hai:
\[
\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}
\]
\[
\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}
\]
\[
\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}
\]
\[
\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}
\]
3. Thay vào biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{6\sqrt{5} - 4\sqrt{5}}
\]
4. Rút gọn phân số:
\[
A = \frac{(3 + 2)\sqrt{5}}{(6 - 4)\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{2}
\]
5. Tìm giá trị của \( A^2 \):
\[
A^2 = \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4}
\]
Vậy giá trị của \( A^2 \) là \(\frac{25}{4}\).
Đáp án đúng là: C. $\frac{25}{4}$.
Câu 6.
Để tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{2x-10}$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải lớn hơn hoặc bằng 0.
Ta có:
\[ 2x - 10 \geq 0 \]
Giải bất phương trình này:
\[ 2x \geq 10 \]
\[ x \geq 5 \]
Vậy điều kiện xác định của $\sqrt{2x-10}$ là:
\[ x \geq 5 \]
Đáp án đúng là: A. $x \geq 5$.
Câu 7.
Để tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{-5x}$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn (tức là $-5x$) phải lớn hơn hoặc bằng 0.
Ta có:
\[ -5x \geq 0 \]
Chia cả hai vế cho -5 (nhớ rằng chia cho số âm thì dấu bất đẳng thức sẽ đổi chiều):
\[ x \leq 0 \]
Vậy điều kiện xác định của $\sqrt{-5x}$ là:
\[ x \leq 0 \]
Đáp án đúng là: D. $x \leq 0$.
Câu 8.
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng \( ax + by = c \), trong đó \( a \), \( b \), và \( c \) là các hằng số, và \( x \), \( y \) là các ẩn số, với điều kiện \( a \neq 0 \) và \( b \neq 0 \).
Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình bậc nhất hai ẩn:
A. \( -x + y^2 = 1 \)
- Phương trình này có \( y^2 \), tức là \( y \) ở dạng bậc hai, do đó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
B. \( 3x^3 + 2y = 0 \)
- Phương trình này có \( x^3 \), tức là \( x \) ở dạng bậc ba, do đó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
C. \( x - 7y = 5 \)
- Phương trình này có dạng \( ax + by = c \) với \( a = 1 \), \( b = -7 \), và \( c = 5 \). Do đó, đây là phương trình bậc nhất hai ẩn.
D. \( x - 2xy = 8 \)
- Phương trình này có \( xy \), tức là \( x \) và \( y \) nhân với nhau, do đó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn là:
C. \( x - 7y = 5 \)
Đáp án đúng là: C. \( x - 7y = 5 \)
Câu 9.
Câu hỏi:
Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. $\left\{\begin{array}{l}xy + x = 2 \\ y - 2x = 1\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l}x - 2y = 1 \\ x + 2y^2 = -1\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{l}4x - 3y = 3 \\ x + y = 1\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l}4x^2 + 3y = 3 \\ -x + y = -2\end{array}\right.$
Câu trả lời:
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình mà mỗi phương trình trong hệ đều có dạng bậc nhất hai ẩn, tức là mỗi phương trình có dạng \(ax + by = c\) với \(a\), \(b\), và \(c\) là các hằng số.
A. $\left\{\begin{array}{l}xy + x = 2 \\ y - 2x = 1\end{array}\right.$
- Phương trình đầu tiên \(xy + x = 2\) có chứa \(xy\), do đó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
B. $\left\{\begin{array}{l}x - 2y = 1 \\ x + 2y^2 = -1\end{array}\right.$
- Phương trình thứ hai \(x + 2y^2 = -1\) có chứa \(y^2\), do đó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
C. $\left\{\begin{array}{l}4x - 3y = 3 \\ x + y = 1\end{array}\right.$
- Cả hai phương trình đều có dạng bậc nhất hai ẩn.
D. $\left\{\begin{array}{l}4x^2 + 3y = 3 \\ -x + y = -2\end{array}\right.$
- Phương trình đầu tiên \(4x^2 + 3y = 3\) có chứa \(x^2\), do đó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:
C. $\left\{\begin{array}{l}4x - 3y = 3 \\ x + y = 1\end{array}\right.$
Đáp án: C.
Câu 10.
Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx-5y=2\\x+3y=10\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất:
\[ (x + 3y) - (x - 5y) = 10 - 2 \]
\[ x + 3y - x + 5y = 8 \]
\[ 8y = 8 \]
\[ y = 1 \]
Bước 2: Thay giá trị của \( y \) vào phương trình thứ nhất để tìm \( x \):
\[ x - 5 \cdot 1 = 2 \]
\[ x - 5 = 2 \]
\[ x = 7 \]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (7; 1) \).
Đáp án đúng là: A. \( (7; 1) \)
Câu 11.
Ta có:
- \(a < b\)
- \(c < 0\)
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm, ta phải đổi chiều bất đẳng thức đó.
Do đó, nhân cả hai vế của \(a < b\) với \(c < 0\), ta có:
\[ ac > bc \]
Vậy đáp án đúng là:
C. \(ac > bc\).
Câu 12.
Để xác định tập hợp \( S = \{2\} \) là nghiệm của phương trình nào, chúng ta sẽ thay \( x = 2 \) vào từng phương trình và kiểm tra xem phương trình đó có đúng hay không.
A. \( x + 2 = 0 \)
Thay \( x = 2 \):
\[ 2 + 2 = 4 \neq 0 \]
Phương trình này sai.
B. \( 2x + 4 = 0 \)
Thay \( x = 2 \):
\[ 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8 \neq 0 \]
Phương trình này sai.
C. \( -5x + 10 = 0 \)
Thay \( x = 2 \):
\[ -5(2) + 10 = -10 + 10 = 0 \]
Phương trình này đúng.
D. \( 3x + 6 = 0 \)
Thay \( x = 2 \):
\[ 3(2) + 6 = 6 + 6 = 12 \neq 0 \]
Phương trình này sai.
Vậy tập hợp \( S = \{2\} \) là nghiệm của phương trình:
C. \( -5x + 10 = 0 \)
Đáp án: C. \( -5x + 10 = 0 \)
Câu 13.
Trước tiên, ta cần biết rằng trong tam giác vuông, cosin của một góc là tỉ số giữa độ dài cạnh kề với góc đó và độ dài cạnh huyền.
Ở đây, ta có tam giác ABC vuông tại A. Ta cần tìm giá trị của $\cos C$.
Cạnh kề với góc C là cạnh AB và cạnh huyền là cạnh BC.
Theo đề bài, ta có:
- Độ dài cạnh AB = 5
- Độ dài cạnh AC = 12
- Độ dài cạnh BC = 13 (vì BC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC)
Do đó, ta có:
\[ \cos C = \frac{\text{cạnh kề với góc } C}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13} \]
Vậy giá trị của $\cos C$ là $\frac{5}{13}$.
Đáp án đúng là: B. $\frac{5}{13}$.
Câu 14.
Để kiểm tra các khẳng định trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của các hàm lượng giác cơ bản:
- $\cos(90^\circ - x) = \sin(x)$
- $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$
- $\tan(90^\circ - x) = \cot(x)$
Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định:
A. $\cos35^\circ = \sin55^\circ$
Ta biết rằng $\cos(90^\circ - x) = \sin(x)$. Do đó, $\cos35^\circ = \sin(90^\circ - 35^\circ) = \sin55^\circ$. Khẳng định này đúng.
B. $\sin65^\circ = \cos25^\circ$
Ta biết rằng $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$. Do đó, $\sin65^\circ = \cos(90^\circ - 65^\circ) = \cos25^\circ$. Khẳng định này đúng.
C. $\tan25^\circ = \cot65^\circ$
Ta biết rằng $\tan(90^\circ - x) = \cot(x)$. Do đó, $\tan25^\circ = \cot(90^\circ - 25^\circ) = \cot65^\circ$. Khẳng định này đúng.
D. $\cos25^\circ = \cos65^\circ$
Ta biết rằng $\cos(x) \neq \cos(90^\circ - x)$ trừ khi $x = 45^\circ$. Trong trường hợp này, $\cos25^\circ \neq \cos65^\circ$. Khẳng định này sai.
Vậy khẳng định sai là:
D. $\cos25^\circ = \cos65^\circ$.
Câu 15.
Trước tiên, ta cần kiểm tra xem tam giác ABC có phải là tam giác vuông cân hay không. Ta biết rằng trong tam giác vuông, nếu một góc là 45° thì hai cạnh góc vuông sẽ bằng nhau.
Ta có:
- AB = 4 cm
- BC = 8 cm
Ta thấy rằng BC là cạnh huyền của tam giác ABC (vì nó là cạnh đối diện với góc vuông). Để kiểm tra xem tam giác ABC có phải là tam giác vuông cân hay không, ta cần tính độ dài cạnh AC.
Áp dụng định lý Pythagoras:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ 8^2 = 4^2 + AC^2 \]
\[ 64 = 16 + AC^2 \]
\[ AC^2 = 64 - 16 \]
\[ AC^2 = 48 \]
\[ AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]
Như vậy, ta thấy rằng AC không bằng AB, do đó tam giác ABC không phải là tam giác vuông cân.
Bây giờ, ta cần tìm số đo góc C. Ta biết rằng trong tam giác vuông, tổng các góc nội tiếp là 180°. Vì góc A là 90°, nên tổng của góc B và góc C phải là 90°.
Ta có:
\[ \text{Góc B} + \text{Góc C} = 90^\circ \]
Ta cũng biết rằng trong tam giác vuông, nếu một góc là 30° thì cạnh đối diện với góc đó bằng một nửa cạnh huyền. Ta thấy rằng:
\[ AB = 4 \text{ cm} \]
\[ BC = 8 \text{ cm} \]
Do đó, ta có:
\[ AB = \frac{1}{2} BC \]
Điều này cho thấy góc B là 30°. Do đó, góc C phải là:
\[ \text{Góc C} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
Vậy số đo góc C là:
\[ \boxed{60^\circ} \]
Câu 16.
Trước tiên, ta biết rằng trong tam giác vuông ABC với góc C là góc vuông, cạnh AB là cạnh huyền. Ta cũng biết rằng $\sin A = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}}$.
Ở đây, $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5}$.
Biết rằng $AB = 15$ cm, ta có thể thay vào để tìm độ dài của BC:
\[
\frac{BC}{15} = \frac{2}{5}
\]
Nhân cả hai vế với 15:
\[
BC = 15 \times \frac{2}{5} = 15 \times 0.4 = 6 \text{ cm}
\]
Vậy độ dài của BC là 6 cm.
Đáp án đúng là: A. 6 cm.
Câu 17.
Để xác định số trục đối xứng của đường tròn, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm trục đối xứng. Trục đối xứng của một hình là đường thẳng sao cho nếu gấp đôi hình qua đường thẳng đó thì hai nửa hình sẽ trùng khớp với nhau.
Với đường tròn, ta có thể thấy rằng:
- Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của nó. Khi gấp đôi đường tròn qua bất kỳ đường kính nào, hai nửa đường tròn sẽ trùng khớp với nhau hoàn toàn.
- Đường tròn có vô số đường kính, do đó nó cũng có vô số trục đối xứng.
Vậy đáp án đúng là:
B. Vô số.
Lập luận từng bước:
1. Định nghĩa trục đối xứng: Đường thẳng sao cho nếu gấp đôi hình qua đường thẳng đó thì hai nửa hình sẽ trùng khớp với nhau.
2. Đường tròn có vô số đường kính.
3. Mỗi đường kính của đường tròn là trục đối xứng của nó.
4. Do đó, đường tròn có vô số trục đối xứng.
Câu 18.
Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O'), ta cần biết khoảng cách giữa tâm O và tâm O' so với tổng hoặc hiệu bán kính của hai đường tròn.
- Đường tròn (O) có bán kính là OA.
- Đường tròn (O') có đường kính là OA, do đó bán kính của đường tròn (O') là $\frac{OA}{2}$.
Khoảng cách giữa tâm O và tâm O' là $\frac{OA}{2}$ (vì O' nằm trên OA và là tâm của đường tròn đường kính OA).
Bây giờ, ta so sánh khoảng cách này với tổng và hiệu bán kính của hai đường tròn:
1. Tổng bán kính của hai đường tròn:
\[ OA + \frac{OA}{2} = \frac{3OA}{2} \]
2. Hiệu bán kính của hai đường tròn:
\[ OA - \frac{OA}{2} = \frac{OA}{2} \]
Khoảng cách giữa tâm O và tâm O' là $\frac{OA}{2}$, bằng với hiệu bán kính của hai đường tròn. Do đó, hai đường tròn tiếp xúc trong.
Vậy đáp án đúng là:
C. Tiếp xúc trong.