Trả lời các câu hỏi trong ảnh sau

Câu 34: Để xác định khẳng định đúng trong các lựa chọn về các mặt phẳng song song của hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một. A. $(A'BC) // (AB'C')$ - Ta thấy rằng $A'$ và $A$ nằm trên hai đường thẳng song song $AA'$ và $BB'$, tương tự $C$ và $C'$ nằm trên hai đường thẳng song song $CC'$ và $BB'$. Tuy nhiên, $B$ và $B'$ không nằm trên cùng một đường thẳng song song, do đó $(A'BC)$ không song song với $(AB'C')$. B. $(BA'C') // (B'AC)$ - Ta thấy rằng $B$ và $B'$ nằm trên hai đường thẳng song song $BB'$ và $AA'$, tương tự $A'$ và $A$ nằm trên hai đường thẳng song song $AA'$ và $CC'$. Tuy nhiên, $C'$ và $C$ không nằm trên cùng một đường thẳng song song, do đó $(BA'C')$ không song song với $(B'AC)$. C. $(ABC') // (A'B'C)$ - Ta thấy rằng $A$ và $A'$ nằm trên hai đường thẳng song song $AA'$ và $BB'$, tương tự $B$ và $B'$ nằm trên hai đường thẳng song song $BB'$ và $CC'$. Tuy nhiên, $C'$ và $C$ không nằm trên cùng một đường thẳng song song, do đó $(ABC')$ không song song với $(A'B'C)$. D. $(ABC) // (A'B'C')$ - Ta thấy rằng $A$ và $A'$ nằm trên hai đường thẳng song song $AA'$, $B$ và $B'$ nằm trên hai đường thẳng song song $BB'$, và $C$ và $C'$ nằm trên hai đường thẳng song song $CC'$. Do đó, $(ABC)$ song song với $(A'B'C')$. Vậy khẳng định đúng là: D. $(ABC) // (A'B'C')$ Đáp án: D. $(ABC) // (A'B'C')$ Câu 35: Trước tiên, ta cần xác định các mặt phẳng song song với mặt phẳng (AAB). - Mặt phẳng (AAB) bao gồm các điểm A, A', và B. - Ta cần tìm các mặt phẳng khác trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đường thẳng song song với các đường thẳng trong mặt phẳng (AAB). Ta xét các mặt phẳng: A. (BCA') B. (BC'D) C. (A'C'C) D. (BDA') - Mặt phẳng (BCA') bao gồm các điểm B, C, và A'. Các đường thẳng trong mặt phẳng này không song song với các đường thẳng trong mặt phẳng (AAB). - Mặt phẳng (BC'D) bao gồm các điểm B, C', và D. Các đường thẳng trong mặt phẳng này không song song với các đường thẳng trong mặt phẳng (AAB). - Mặt phẳng (A'C'C) bao gồm các điểm A', C', và C. Các đường thẳng trong mặt phẳng này không song song với các đường thẳng trong mặt phẳng (AAB). - Mặt phẳng (BDA') bao gồm các điểm B, D, và A'. Các đường thẳng BD và BA' song song với các đường thẳng tương ứng trong mặt phẳng (AAB). Do đó, mặt phẳng (BDA') song song với mặt phẳng (AAB). Đáp án đúng là: D. (BDA') Câu 36: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điều này có nghĩa là O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, và O cũng là trung điểm của cả hai đường chéo này. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Ta sẽ chứng minh rằng mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng (SBC). 1. Chứng minh OM song song với SB: - Vì O là trung điểm của AC và BD, nên O cũng là trung điểm của đường chéo BD. - M là trung điểm của SA, do đó OM là đường trung bình của tam giác SAD. - Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, OM song song với SB. 2. Chứng minh ON song song với SC: - Tương tự như trên, vì O là trung điểm của BD và N là trung điểm của SD, nên ON là đường trung bình của tam giác SBD. - Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ON song song với SC. 3. Kết luận: - Vì OM song song với SB và ON song song với SC, nên mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng (SBC). Do đó, mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng (SBC). Đáp án đúng là: A. (SBC). Câu 37: Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. Ta sẽ tìm góc giữa hai đường thẳng $AA_1$ và $DC_1$ bằng cách so sánh với các góc giữa các đường thẳng khác. - Góc giữa hai đường thẳng $AA_1$ và $DD_1$: Vì $AA_1$ và $DD_1$ đều vuông góc với đáy của hình lập phương, nên góc giữa chúng là góc vuông (90°). Do đó, góc này không thể là góc giữa $AA_1$ và $DC_1$. - Góc giữa hai đường thẳng $AA_1$ và $D_1C_1$: Đường thẳng $D_1C_1$ nằm trên mặt phẳng $(A_1B_1C_1D_1)$ và vuông góc với $AA_1$. Do đó, góc giữa chúng cũng là góc vuông (90°). Do đó, góc này cũng không thể là góc giữa $AA_1$ và $DC_1$. - Góc giữa hai đường thẳng $DD_1$ và $BB_1$: Vì $DD_1$ và $BB_1$ đều vuông góc với đáy của hình lập phương, nên góc giữa chúng là góc vuông (90°). Do đó, góc này không thể là góc giữa $AA_1$ và $DC_1$. - Góc giữa hai đường thẳng $DC_1$ và $DD_1$: Đường thẳng $DC_1$ nằm trên mặt phẳng $(DCD_1C_1)$ và cắt $DD_1$ tại điểm $D$. Góc giữa chúng là góc giữa hai đường thẳng $DC_1$ và $DD_1$, tức là góc giữa hai đường thẳng $AA_1$ và $DC_1$. Do đó, góc giữa hai đường thẳng $AA_1$ và $DC_1$ bằng góc giữa hai đường thẳng $DC_1$ và $DD_1$. Đáp án đúng là: D. Góc giữa hai đường thẳng $DC_1$ và $DD_1$. Câu 38: Trước tiên, ta xác định góc giữa hai đường thẳng AC và DA1 trong hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. 1. Xác định các điểm: - A, B, C, D là các đỉnh của mặt đáy lập phương. - A1, B1, C1, D1 là các đỉnh của mặt trên lập phương. 2. Xác định các đường thẳng: - AC là đường chéo của mặt đáy ABCD. - DA1 là đường thẳng nối đỉnh D của mặt đáy với đỉnh A1 của mặt trên. 3. Xác định góc giữa hai đường thẳng: - Để xác định góc giữa AC và DA1, ta cần vẽ hình và xác định vị trí của các đường thẳng này trong không gian. 4. Ta nhận thấy rằng: - AC nằm trong mặt đáy ABCD. - DA1 là đường thẳng nối đỉnh D của mặt đáy với đỉnh A1 của mặt trên. 5. Ta vẽ hình và xác định góc giữa AC và DA1: - Khi vẽ hình, ta thấy rằng AC và DA1 tạo thành một tam giác đều với cạnh là đường chéo của mặt lập phương. 6. Do đó, góc giữa AC và DA1 là 60°. Vậy đáp án đúng là: B. 60°. Câu 39: Để tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\), ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và các đoạn thẳng liên quan. 1. Xác định các điểm và đoạn thẳng: - \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(BM = MC = \frac{BC}{2}\). - \(N\) là trung điểm của \(AD\), do đó \(AN = ND = \frac{AD}{2}\). 2. Tính khoảng cách \(MN\): - Ta biết rằng \(MN = a\sqrt{3}\). 3. Xét tam giác \(AMN\) và \(DMN\): - Vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(BC\) và \(AD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\) và \(CDB\). - Do đó, \(MN\) song song với \(BD\) và \(MN = \frac{1}{2} BD\). 4. Tính khoảng cách \(BD\): - Ta có \(MN = a\sqrt{3}\), suy ra \(BD = 2 \times MN = 2 \times a\sqrt{3} = 2a\sqrt{3}\). 5. Xét tam giác \(ABD\) và \(CBD\): - Ta biết rằng \(AB = CD = 2a\). - \(BD = 2a\sqrt{3}\). 6. Áp dụng định lý余弦到三角形ABD和CBD中，我们可以计算角ABD和CBD的余弦值。由于AB = CD = 2a且BD = 2a√3，我们可以使用余弦定理来求解： 在三角形ABD中： \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD) \] 代入已知值： \[ (2a\sqrt{3})^2 = (2a)^2 + (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 2a \cdot \cos(\angle BAD) \] \[ 12a^2 = 4a^2 + 4a^2 - 8a^2 \cdot \cos(\angle BAD) \] \[ 12a^2 = 8a^2 - 8a^2 \cdot \cos(\angle BAD) \] \[ 4a^2 = -8a^2 \cdot \cos(\angle BAD) \] \[ \cos(\angle BAD) = -\frac{1}{2} \] 因此，\(\angle BAD = 120^\circ\)。 由于对称性，\(\angle BDC = 120^\circ\)。 现在我们考虑四面体ABCD中的角\((\widehat{AB,CD})\)。由于AB和CD是等长的，并且它们之间的距离使得MN = a√3，我们可以推断出AB和CD之间的夹角是60度。 因此，正确答案是： C. \((\widehat{AB,CD}) = 60^\circ\)。 Câu 40: Để tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD trong tứ diện ABCD, ta sẽ sử dụng phương pháp chiếu hình học và tính toán các đoạn thẳng liên quan. Bước 1: Xác định các điểm trung điểm: - H là trung điểm của CD. - K là trung điểm của AB. Bước 2: Xác định các đoạn thẳng liên quan: - AC = 2a - BD = 2a√3 - HK = a Bước 3: Xác định vị trí của các đoạn thẳng: - Ta có thể coi HK là đoạn thẳng nối giữa hai trung điểm của hai cạnh đối diện trong tứ diện, do đó HK sẽ song song với đường thẳng nối giữa hai trung điểm của hai cạnh còn lại (tức là đường thẳng nối giữa trung điểm của AD và BC). Bước 4: Xác định góc giữa hai đường thẳng AC và BD: - Vì HK là đoạn thẳng nối giữa hai trung điểm của hai cạnh đối diện, nên HK sẽ song song với đường thẳng nối giữa trung điểm của AD và BC. - Do đó, ta có thể coi HK là đoạn thẳng song song với đường thẳng nối giữa trung điểm của AD và BC, và từ đó suy ra góc giữa AC và BD sẽ bằng góc giữa AC và HK. Bước 5: Tính góc giữa AC và HK: - Ta có AC = 2a và HK = a. - Ta cũng biết rằng HK là đoạn thẳng nối giữa hai trung điểm của hai cạnh đối diện, do đó HK sẽ song song với đường thẳng nối giữa trung điểm của AD và BC. - Từ đó, ta có thể coi HK là đoạn thẳng song song với đường thẳng nối giữa trung điểm của AD và BC, và từ đó suy ra góc giữa AC và BD sẽ bằng góc giữa AC và HK. Bước 6: Kết luận: - Ta thấy rằng HK là đoạn thẳng nối giữa hai trung điểm của hai cạnh đối diện, do đó HK sẽ song song với đường thẳng nối giữa trung điểm của AD và BC. - Từ đó, ta có thể coi HK là đoạn thẳng song song với đường thẳng nối giữa trung điểm của AD và BC, và từ đó suy ra góc giữa AC và BD sẽ bằng góc giữa AC và HK. Do đó, góc giữa hai đường thẳng AC và BD là 90°. Đáp án đúng là: D. 90°.