Help me câu 19

Câu 19: Để tìm giới hạn $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{ax^2+1}-bx-2}{x^3-3x+2}$ và kết quả là một số thực, ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng 0 khi $x \to 1$. Ta sẽ kiểm tra mẫu số trước: Mẫu số là: \[ x^3 - 3x + 2 \] Thay $x = 1$ vào mẫu số: \[ 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Như vậy, mẫu số bằng 0 khi $x = 1$, do đó để giới hạn tồn tại và là một số thực, tử số cũng phải bằng 0 khi $x = 1$. Ta sẽ thay $x = 1$ vào tử số và giải phương trình để tìm $a$ và $b$. Tử số là: \[ \sqrt{ax^2 + 1} - bx - 2 \] Thay $x = 1$ vào tử số: \[ \sqrt{a(1)^2 + 1} - b(1) - 2 = \sqrt{a + 1} - b - 2 \] Để giới hạn tồn tại và là một số thực, tử số phải bằng 0 khi $x = 1$: \[ \sqrt{a + 1} - b - 2 = 0 \] \[ \sqrt{a + 1} = b + 2 \] Bây giờ, ta sẽ nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{ax^2+1}-bx-2}{x^3-3x+2} \cdot \frac{\sqrt{ax^2+1}+bx+2}{\sqrt{ax^2+1}+bx+2} \] Tử số mới là: \[ (\sqrt{ax^2+1} - bx - 2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2) = (ax^2 + 1) - (bx + 2)^2 \] \[ = ax^2 + 1 - (b^2x^2 + 4bx + 4) \] \[ = ax^2 + 1 - b^2x^2 - 4bx - 4 \] \[ = (a - b^2)x^2 - 4bx - 3 \] Mẫu số mới là: \[ (x^3 - 3x + 2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2) \] Ta thấy rằng mẫu số vẫn có dạng $(x - 1)(x^2 + x - 2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)$, và khi $x \to 1$, mẫu số sẽ tiếp tục bằng 0 nếu không có điều chỉnh thêm. Do đó, ta cần đảm bảo rằng tử số cũng có nhân tử $(x - 1)$ để giới hạn tồn tại. Do đó, ta cần: \[ (a - b^2)x^2 - 4bx - 3 = (x - 1)Q(x) \] Khi $x = 1$, ta có: \[ (a - b^2)(1)^2 - 4b(1) - 3 = 0 \] \[ a - b^2 - 4b - 3 = 0 \] Ta đã có hai phương trình: 1. $\sqrt{a + 1} = b + 2$ 2. $a - b^2 - 4b - 3 = 0$ Giải phương trình thứ nhất: \[ a + 1 = (b + 2)^2 \] \[ a + 1 = b^2 + 4b + 4 \] \[ a = b^2 + 4b + 3 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ b^2 + 4b + 3 - b^2 - 4b - 3 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Như vậy, phương trình này luôn đúng, do đó ta có thể chọn bất kỳ giá trị nào cho $b$ và tính tương ứng $a$. Tuy nhiên, để đơn giản, ta chọn $b = -1$: \[ a = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \] Vậy $a = 0$ và $b = -1$, do đó: \[ ab = 0 \times (-1) = 0 \] Đáp số: $ab = 0$