dmmkdnxnxnx

Câu 11: Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc tù là góc nằm trong khoảng từ 90° đến 180°. Trên nửa đường tròn đơn vị, góc tù thuộc góc phần tư thứ hai. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng hàm lượng giác: 1. Tangent (\(\tan \alpha\)): - Trong góc phần tư thứ hai, \(\sin \alpha > 0\) và \(\cos \alpha < 0\). Do đó, \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) sẽ là một số âm vì một số dương chia cho một số âm sẽ cho kết quả âm. - Vậy, \(\tan \alpha < 0\). 2. Cotangent (\(\cot \alpha\)): - \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). Vì \(\cos \alpha < 0\) và \(\sin \alpha > 0\), nên \(\cot \alpha\) sẽ là một số âm. - Vậy, \(\cot \alpha < 0\). 3. Sine (\(\sin \alpha\)): - Trong góc phần tư thứ hai, \(\sin \alpha\) luôn dương. - Vậy, \(\sin \alpha > 0\). 4. Cosine (\(\cos \alpha\)): - Trong góc phần tư thứ hai, \(\cos \alpha\) luôn âm. - Vậy, \(\cos \alpha < 0\). Dựa vào các phân tích trên, ta thấy rằng mệnh đề đúng là: A. \(\tan \alpha < 0\). Vậy đáp án đúng là: A. \(\tan \alpha < 0\). Câu 12: Trước tiên, ta biết rằng trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) với góc \( A = 90^\circ \) và góc \( B = 30^\circ \), góc \( C \) sẽ là: \[ C = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \( \cos B = \frac{1}{\sqrt{3}} \) - Ta biết rằng \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Do đó, khẳng định này là sai vì \( \cos 30^\circ \neq \frac{1}{\sqrt{3}} \). B. \( \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - Ta biết rằng \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Do đó, khẳng định này là đúng. C. \( \cos C = \frac{1}{2} \) - Ta biết rằng \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \). Do đó, khẳng định này là đúng. D. \( \sin B = \frac{1}{2} \) - Ta biết rằng \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \). Do đó, khẳng định này là đúng. Từ đó, khẳng định sai là: A. \( \cos B = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Đáp án: A. Câu 13: Ta biết rằng: \[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \] Vì \(\tan \alpha = \frac{1}{3}\), nên ta có: \[ \cot \alpha = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 \] Vậy đáp án đúng là: A. \(\cot \alpha = 3\). Câu 14: Áp dụng định lý余弦定理，我们可以计算出角A的余弦值。根据余弦定理： \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] 其中，\( a = BC = 7 \, \text{cm} \)，\( b = AC = 9 \, \text{cm} \)，\( c = AB = 4 \, \text{cm} \)。 代入这些值，我们得到： \[ \cos A = \frac{9^2 + 4^2 - 7^2}{2 \cdot 9 \cdot 4} \] \[ \cos A = \frac{81 + 16 - 49}{72} \] \[ \cos A = \frac{48}{72} \] \[ \cos A = \frac{2}{3} \] 因此，正确答案是 D. $\cos A = \frac{2}{3}$。 Câu 15: Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa chúng: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC}) \] Trong đó: - \( AB = 2a \) - \( AC = 4a \) - \( \widehat{BAC} = 120^\circ \) Ta biết rằng \(\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Thay các giá trị này vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 4a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Tính toán tiếp: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 4a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2a^2 \sqrt{3} \] Vậy diện tích tam giác ABC là: \[ S = 2a^2 \sqrt{3} \] Đáp án đúng là: B. \( S = 2a^2 \sqrt{3} \). Câu 16: Trước tiên, ta biết rằng $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Vì $\sin\alpha = \frac{5}{13}$, ta có: \[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{25}{169} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{144}{169} \] Vì $\alpha$ là góc tù, $\cos\alpha$ sẽ là số âm. Do đó: \[ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \] Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức $3\sin\alpha + 2\cos\alpha$: \[ 3\sin\alpha + 2\cos\alpha = 3 \cdot \frac{5}{13} + 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \] \[ = \frac{15}{13} - \frac{24}{13} \] \[ = \frac{15 - 24}{13} \] \[ = \frac{-9}{13} \] Vậy giá trị của biểu thức $3\sin\alpha + 2\cos\alpha$ là $-\frac{9}{13}$. Đáp án đúng là: C. $-\frac{9}{13}$. Câu 17: Để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) của tam giác \(ABC\), ta sử dụng công thức: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Trong đó: - \(a = 13\) - \(b = 14\) - \(c = 15\) - \(S = 84\) Bước 1: Tính \(abc\): \[ abc = 13 \times 14 \times 15 \] Bước 2: Tính \(4S\): \[ 4S = 4 \times 84 \] Bước 3: Thay các giá trị vào công thức: \[ R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} \] Bước 4: Thực hiện phép nhân và chia: \[ 13 \times 14 = 182 \] \[ 182 \times 15 = 2730 \] \[ 4 \times 84 = 336 \] \[ R = \frac{2730}{336} \] Bước 5: Chia 2730 cho 336: \[ R = 8,125 \] Vậy độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) của tam giác \(ABC\) là: \[ \boxed{8,125} \] Đáp án đúng là: A. 8,125. Câu 4: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và tính chất của các hàm lượng giác. Mệnh đề a) $\cot x = \frac{1}{3}$ Biết rằng $\tan x = 3$, ta có: \[ \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{3} \] Vậy mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) $\cos^2 x = \frac{1}{4}$ Ta biết rằng: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \] \[ \sin x = 3 \cos x \] Áp dụng công thức Pythagoras: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] \[ (3 \cos x)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ 9 \cos^2 x + \cos^2 x = 1 \] \[ 10 \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = \frac{1}{10} \] Vậy mệnh đề b) là sai vì $\cos^2 x = \frac{1}{10}$, không phải $\frac{1}{4}$. Mệnh đề c) $A = \frac{1 - 4 \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{1}{2}$ Ta đã biết $\cos^2 x = \frac{1}{10}$ và $\sin x = 3 \cos x$. Thay vào biểu thức A: \[ A = \frac{1 - 4 \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} \] \[ A = \frac{1 - 4 \left( \frac{1}{10} \right)}{(3 \cos x) \cdot \cos x} \] \[ A = \frac{1 - \frac{4}{10}}{3 \cos^2 x} \] \[ A = \frac{\frac{10}{10} - \frac{4}{10}}{3 \cdot \frac{1}{10}} \] \[ A = \frac{\frac{6}{10}}{\frac{3}{10}} \] \[ A = \frac{6}{3} \] \[ A = 2 \] Vậy mệnh đề c) là sai vì $A = 2$, không phải $\frac{1}{2}$. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai.