bh. hvhubhhhbhbhbhhbbhhbbhhhhhbhbbh

Câu 13. a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(6;2).$ Để kiểm tra tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 2; -3 - 1) = (-2; -4) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(-2; -4)$, không phải $(6; 2)$. b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G(\frac{5}{3}; -\frac{1}{3})$. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh: \[ G = \left( \frac{2 + 0 + 3}{3}, \frac{1 - 3 + 1}{3} \right) = \left( \frac{5}{3}, -\frac{1}{3} \right) \] Vậy tọa độ của trọng tâm G là đúng là $G(\frac{5}{3}; -\frac{1}{3})$. c) Tọa độ trung điểm M của AB là $M(-4; 0)$. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của hai điểm A và B: \[ M = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{1 - 3}{2} \right) = \left( 1, -1 \right) \] Vậy tọa độ của trung điểm M là $(1; -1)$, không phải $(-4; 0)$. d) Tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành là $D(-5; 5)$. Để ABCD là hình bình hành, vectơ $\overrightarrow{AB}$ phải bằng vectơ $\overrightarrow{DC}$: \[ \overrightarrow{AB} = (-2; -4) \] Ta có: \[ \overrightarrow{DC} = (3 - x_D; 1 - y_D) = (-2; -4) \] Từ đó suy ra: \[ 3 - x_D = -2 \Rightarrow x_D = 5 \] \[ 1 - y_D = -4 \Rightarrow y_D = 5 \] Vậy tọa độ của điểm D là $(5; 5)$, không phải $(-5; 5)$. Kết luận: - Đáp án a) sai. - Đáp án b) đúng. - Đáp án c) sai. - Đáp án d) sai. Câu 14. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, từ việc sắp xếp dữ liệu đến tính toán các thông số thống kê yêu cầu. Bước 1: Sắp xếp dữ liệu Dữ liệu ban đầu: 36, 42, 38, 33, 36, 30, 35, 36, 30, 37, 31 Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần: 30, 30, 31, 33, 35, 36, 36, 36, 37, 38, 42 Bước 2: Tính khoảng biến thiên Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất = 42 - 30 = 12 Bước 3: Tìm mốt của mẫu số liệu Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Trong dữ liệu đã sắp xếp: 30, 30, 31, 33, 35, 36, 36, 36, 37, 38, 42 Giá trị 36 xuất hiện nhiều nhất (3 lần). Vậy mốt của mẫu số liệu là 36. Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) Tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là giá trị ở vị trí $\frac{3(n+1)}{4}$ trong dãy số đã sắp xếp, với n là số lượng giá trị trong dãy. Ở đây, n = 11. Vị trí của $Q_3$ là: $\frac{3(11+1)}{4} = \frac{3 \times 12}{4} = 9$ Vậy $Q_3$ là giá trị ở vị trí thứ 9 trong dãy đã sắp xếp: 30, 30, 31, 33, 35, 36, 36, 36, 37, 38, 42 $Q_3 = 37$ Bước 5: Tính giá trị trung bình của mẫu số liệu Giá trị trung bình = Tổng các giá trị / Số lượng giá trị Tổng các giá trị: 30 + 30 + 31 + 33 + 35 + 36 + 36 + 36 + 37 + 38 + 42 = 384 Số lượng giá trị: 11 Giá trị trung bình: $\frac{384}{11} \approx 34.91$ Kết luận a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 12. b) Mốt của mẫu số liệu là 36. c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu $Q_3 = 37$. d) Giá trị trung bình của mẫu số liệu là 34.91. Câu 15. Để tìm số tập con gồm hai phần tử của tập hợp \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định số phần tử của tập hợp: Tập hợp \( A \) có 5 phần tử. 2. Áp dụng công thức tính số tập con gồm \( k \) phần tử: Số tập con gồm \( k \) phần tử của một tập hợp có \( n \) phần tử được tính bằng công thức tổ hợp \( C(n, k) \). Trong trường hợp này, \( n = 5 \) và \( k = 2 \). Ta có: \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \] 3. Tính giai thừa: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \] \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] 4. Thay giai thừa vào công thức: \[ C(5, 2) = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \] Vậy tập hợp \( A \) có 10 tập con gồm hai phần tử. Đáp số: 10 Câu 16. Để tính độ lệch chuẩn của bảng số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng (trung vị) của dữ liệu: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{N} \] Trong đó: - \(x_i\) là các điểm số. - \(f_i\) là tần số tương ứng của mỗi điểm số. - \(N\) là tổng số mẫu. Ta có: \[ \bar{x} = \frac{(5 \times 5) + (6 \times 7) + (7 \times 12) + (8 \times 14) + (9 \times 3) + (10 \times 4)}{45} \] Tính tổng: \[ (5 \times 5) = 25 \] \[ (6 \times 7) = 42 \] \[ (7 \times 12) = 84 \] \[ (8 \times 14) = 112 \] \[ (9 \times 3) = 27 \] \[ (10 \times 4) = 40 \] Cộng lại: \[ 25 + 42 + 84 + 112 + 27 + 40 = 330 \] Do đó: \[ \bar{x} = \frac{330}{45} = 7.33 \] 2. Tính phương sai (variance): \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{N} \] Ta tính từng phần: \[ (5 - 7.33)^2 = (-2.33)^2 = 5.4289 \] \[ (6 - 7.33)^2 = (-1.33)^2 = 1.7689 \] \[ (7 - 7.33)^2 = (-0.33)^2 = 0.1089 \] \[ (8 - 7.33)^2 = (0.67)^2 = 0.4489 \] \[ (9 - 7.33)^2 = (1.67)^2 = 2.7889 \] \[ (10 - 7.33)^2 = (2.67)^2 = 7.1289 \] Nhân với tần số tương ứng: \[ 5 \times 5.4289 = 27.1445 \] \[ 7 \times 1.7689 = 12.3823 \] \[ 12 \times 0.1089 = 1.3068 \] \[ 14 \times 0.4489 = 6.2846 \] \[ 3 \times 2.7889 = 8.3667 \] \[ 4 \times 7.1289 = 28.5156 \] Cộng lại: \[ 27.1445 + 12.3823 + 1.3068 + 6.2846 + 8.3667 + 28.5156 = 84.0005 \] Do đó: \[ s^2 = \frac{84.0005}{45} = 1.8667 \] 3. Tính độ lệch chuẩn (standard deviation): \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{1.8667} \approx 1.37 \] Vậy độ lệch chuẩn của bảng số liệu là \(1.37\) (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số: \(1.37\) Câu 17. Để ba điểm \(A(2; -4)\), \(B(6; 0)\), và \(C(m; 4)\) thẳng hàng, ta cần kiểm tra điều kiện về tỷ lệ của các đoạn thẳng \(AB\) và \(BC\). Ta tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} = (6 - 2, 0 + 4) = (4, 4) \] \[ \overrightarrow{AC} = (m - 2, 4 + 4) = (m - 2, 8) \] Ba điểm thẳng hàng khi vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương, tức là tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ m - 2 = 4k \] \[ 8 = 4k \] Giải phương trình thứ hai: \[ 4k = 8 \] \[ k = 2 \] Thay \(k = 2\) vào phương trình đầu tiên: \[ m - 2 = 4 \cdot 2 \] \[ m - 2 = 8 \] \[ m = 10 \] Vậy giá trị của \(m\) để ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) thẳng hàng là \(m = 10\). Đáp số: \(m = 10\). Câu 18. Trong tam giác ABC, ta có các hệ thức lượng sau: 1. Các hệ thức liên quan đến diện tích: - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B \] - Diện tích tam giác ABC cũng có thể tính qua bán kính đường tròn ngoại tiếp R: \[ S_{ABC} = \frac{abc}{4R} \] 2. Các hệ thức liên quan đến đường cao: - Đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC là: \[ h_a = b\sin C = c\sin B \] - Đường cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC là: \[ h_b = a\sin C = c\sin A \] - Đường cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB là: \[ h_c = a\sin B = b\sin A \] 3. Các hệ thức liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp: - Bán kính đường tròn ngoại tiếp R: \[ R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C} \] 4. Các hệ thức liên quan đến bán kính đường tròn nội tiếp: - Bán kính đường tròn nội tiếp r: \[ r = \frac{S_{ABC}}{p} \] trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] 5. Các hệ thức liên quan đến đường trung tuyến: - Độ dài đường trung tuyến hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC là: \[ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \] - Độ dài đường trung tuyến hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC là: \[ m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \] - Độ dài đường trung tuyến hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB là: \[ m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \] 6. Các hệ thức liên quan đến đường phân giác: - Độ dài đường phân giác hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC là: \[ l_a = \frac{2bc}{b+c}\cos \left(\frac{A}{2}\right) \] - Độ dài đường phân giác hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC là: \[ l_b = \frac{2ac}{a+c}\cos \left(\frac{B}{2}\right) \] - Độ dài đường phân giác hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB là: \[ l_c = \frac{2ab}{a+b}\cos \left(\frac{C}{2}\right) \] Những hệ thức này rất hữu ích trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là trong việc tính toán diện tích, đường cao, bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp, đường trung tuyến và đường phân giác.