cuuuuuuuuuuuuuuuuuu

Câu 12. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm A và B: - Điểm A có tọa độ $(1; 1; -2)$. - Điểm B có tọa độ $(2; 2; 1)$. 2. Áp dụng công thức tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \] 3. Thay tọa độ của điểm A và B vào công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 2 - 1, 1 - (-2)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1, 1, 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1, 1, 3)$. Câu 13. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u - 2\overrightarrow v$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $2\overrightarrow v$: \[ 2\overrightarrow v = 2 \cdot (2; 1; -1) = (2 \cdot 2; 2 \cdot 1; 2 \cdot (-1)) = (4; 2; -2) \] Bước 2: Tính $\overrightarrow u - 2\overrightarrow v$: \[ \overrightarrow u - 2\overrightarrow v = (1; 3; -2) - (4; 2; -2) = (1 - 4; 3 - 2; -2 - (-2)) = (-3; 1; 0) \] Như vậy, tọa độ của vectơ $\overrightarrow u - 2\overrightarrow v$ là $(-3; 1; 0)$. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án đã cho. Đáp án đúng theo các bước tính toán là: $(-3; 1; 0)$. Câu 14. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{3u} - 2\overrightarrow{v}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $\overrightarrow{3u}$: \[ \overrightarrow{3u} = 3 \cdot \overrightarrow{u} = 3 \cdot (1; 3; 2) = (3 \cdot 1; 3 \cdot 3; 3 \cdot 2) = (3; 9; 6) \] Bước 2: Tính $2\overrightarrow{v}$: \[ 2\overrightarrow{v} = 2 \cdot \overrightarrow{v} = 2 \cdot (2; 1; 1) = (2 \cdot 2; 2 \cdot 1; 2 \cdot 1) = (4; 2; 2) \] Bước 3: Tính $\overrightarrow{3u} - 2\overrightarrow{v}$: \[ \overrightarrow{3u} - 2\overrightarrow{v} = (3; 9; 6) - (4; 2; 2) = (3 - 4; 9 - 2; 6 - 2) = (-1; 7; 4) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{3u} - 2\overrightarrow{v}$ là $(-1; 7; 4)$. Câu 15. Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm \( M(-2;1;4) \) lên mặt phẳng Oyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu về hình chiếu lên mặt phẳng Oyz: - Mặt phẳng Oyz là mặt phẳng chứa trục y và trục z, đồng thời không chứa trục x. - Tọa độ của bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng Oyz sẽ có dạng \((0, y, z)\). 2. Áp dụng vào điểm \( M(-2;1;4) \): - Hình chiếu của điểm \( M \) lên mặt phẳng Oyz sẽ có tọa độ \( (0, y, z) \), trong đó \( y \) và \( z \) giữ nguyên từ tọa độ ban đầu của \( M \). 3. Tìm tọa độ hình chiếu: - Tọa độ của điểm \( M \) là \((-2, 1, 4)\). - Khi chiếu lên mặt phẳng Oyz, tọa độ x sẽ trở thành 0, còn tọa độ y và z giữ nguyên. - Do đó, tọa độ hình chiếu của \( M \) lên Oyz là \( (0, 1, 4) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( (0;1;4) \). Câu 16. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tính toán các đại lượng thống kê yêu cầu từ dữ liệu đã cho. 1. Khoảng Biến Thiên Khoảng biến thiên là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số. - Giá trị lớn nhất: 60 km/h - Giá trị nhỏ nhất: 50 km/h Khoảng biến thiên: \[ 60 - 50 = 10 \text{ km/h} \] 2. Mốt Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dãy số. Từ bảng dữ liệu, ta thấy nhóm [50; 52) có số xe ô tô nhiều nhất (40 xe). Do đó, mốt là: \[ 51 \text{ km/h} \] 3. Các Tứ Phân Vị Tứ phân vị là các giá trị chia dãy số thành bốn phần bằng nhau. Ta sẽ tính Q1, Q2 (median), và Q3. Tổng số xe ô tô: \[ 40 + 32 + 25 + 20 + 8 = 125 \text{ xe} \] Tính Q1 (tứ phân vị thứ nhất): Q1 nằm ở vị trí $\frac{125}{4} = 31,25$, tức là ở khoảng [50; 52). Do đó: \[ Q1 = 51 \text{ km/h} \] Tính Q2 (median): Median nằm ở vị trí $\frac{125}{2} = 62,5$, tức là ở khoảng [52; 54). Do đó: \[ Q2 = 53 \text{ km/h} \] Tính Q3 (tứ phân vị thứ ba): Q3 nằm ở vị trí $\frac{3 \times 125}{4} = 93,75$, tức là ở khoảng [54; 56). Do đó: \[ Q3 = 55 \text{ km/h} \] 4. Khoảng Tứ Phân Vị Khoảng tứ phân vị là chênh lệch giữa Q3 và Q1: \[ Q3 - Q1 = 55 - 51 = 4 \text{ km/h} \] 5. Phương Sai và Độ Lệch Chuẩn Phương sai và độ lệch chuẩn được tính dựa trên trung bình cộng và các giá trị trong dãy số. Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(51 \times 40) + (53 \times 32) + (55 \times 25) + (57 \times 20) + (59 \times 8)}{125} \] \[ \bar{x} = \frac{2040 + 1696 + 1375 + 1140 + 472}{125} \] \[ \bar{x} = \frac{6723}{125} \] \[ \bar{x} = 53,784 \text{ km/h} \] Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Ta tính từng phần: \[ (51 - 53,784)^2 \times 40 = 400,0704 \] \[ (53 - 53,784)^2 \times 32 = 21,9904 \] \[ (55 - 53,784)^2 \times 25 = 52,96 \] \[ (57 - 53,784)^2 \times 20 = 259,904 \] \[ (59 - 53,784)^2 \times 8 = 259,904 \] Tổng: \[ 400,0704 + 21,9904 + 52,96 + 259,904 + 259,904 = 994,8328 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{994,8328}{125} = 7,9586624 \] Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{7,9586624} \approx 2,82 \text{ km/h} \] Kết luận - Khoảng biến thiên: 10 km/h - Mốt: 51 km/h - Tứ phân vị: Q1 = 51 km/h, Q2 = 53 km/h, Q3 = 55 km/h - Khoảng tứ phân vị: 4 km/h - Phương sai: 7,9586624 - Độ lệch chuẩn: 2,82 km/h Câu 17. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu. Bước 1: Tìm Khoảng Biến Thiên Khoảng biến thiên là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số. - Giá trị lớn nhất: 100 - Giá trị nhỏ nhất: 50 Khoảng biến thiên: \[ 100 - 50 = 50 \] Bước 2: Tìm Mốt Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dãy số. Trong bảng tần số, nhóm có tần số lớn nhất là [90;100) với tần số 40. Do đó, mốt của mẫu số liệu là: \[ 90 \leq mốt < 100 \] Bước 3: Tìm Các Tứ Phân Vị Các tứ phân vị chia dữ liệu thành 4 phần bằng nhau. Chúng ta sẽ tính Q1, Q2 (median), và Q3. Tính Q1 (Tứ phân vị thứ nhất) Q1 nằm ở vị trí $\frac{n}{4}$. Với tổng tần số n = 121, ta có: \[ \frac{121}{4} = 30.25 \] Vị trí này nằm trong nhóm [70;80). Tính Q2 (Median) Median nằm ở vị trí $\frac{n}{2}$. Với tổng tần số n = 121, ta có: \[ \frac{121}{2} = 60.5 \] Vị trí này nằm trong nhóm [80;90). Tính Q3 (Tứ phân vị thứ ba) Q3 nằm ở vị trí $\frac{3n}{4}$. Với tổng tần số n = 121, ta có: \[ \frac{3 \times 121}{4} = 90.75 \] Vị trí này nằm trong nhóm [90;100). Bước 4: Tìm Khoảng Tứ Phân Vị Khoảng tứ phân vị là chênh lệch giữa Q3 và Q1. \[ KTV = Q3 - Q1 \] Bước 5: Tìm Phương Sai và Độ Lệch Chuẩn Phương sai và độ lệch chuẩn được tính dựa trên công thức thống kê. Ta cần biết trung bình cộng (mean) trước. Tính Trung Bình Cọng (Mean) \[ \text{Mean} = \frac{\sum (x_i \times f_i)}{n} \] Tính Phương Sai (Variance) \[ \sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \text{mean})^2}{n} \] Tính Độ Lệch Chuẩn (Standard Deviation) \[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \] Kết Luận Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ có kết quả cụ thể cho mỗi yêu cầu. Các giá trị cụ thể sẽ được tính toán chi tiết từ dữ liệu đã cho. Câu 18: Để giải quyết các khẳng định về hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \), chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. a) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\). Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x^2 - x + 1)'(x - 1) - (x^2 - x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x + 1 - x^2 + x - 1}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Để xác định tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số trên khoảng \((0;2)\), ta xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \): - Trên khoảng \((0;1)\), \( x > 0 \) và \( x < 1 \), do đó \( x - 2 < 0 \). Vậy \( f'(x) < 0 \), hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \((1;2)\), \( x > 1 \) và \( x < 2 \), do đó \( x - 2 < 0 \). Vậy \( f'(x) < 0 \), hàm số nghịch biến. Như vậy, hàm số không đồng biến trên khoảng \((0;2)\). Khẳng định này là sai. b) Hàm số \( y = f(x) \) đạt cực tiểu tại điểm có tọa độ \((2;3)\). Ta đã tìm được đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Để tìm điểm cực tiểu, ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Ta kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng: - Khi \( x < 0 \), \( f'(x) < 0 \) - Khi \( 0 < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) - Khi \( 1 < x < 2 \), \( f'(x) < 0 \) - Khi \( x > 2 \), \( f'(x) > 0 \) Do đó, \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. Ta tính giá trị của hàm số tại điểm này: \[ f(2) = \frac{2^2 - 2 + 1}{2 - 1} = \frac{4 - 2 + 1}{1} = 3 \] Như vậy, hàm số đạt cực tiểu tại điểm có tọa độ \((2;3)\). Khẳng định này là đúng. c) Đường thẳng \( x = 2 \) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = f(x) \). Đường thẳng \( x = a \) là đường tiệm cận đứng nếu: \[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \text{ hoặc } \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \] Trong hàm số \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \), ta thấy rằng \( x = 1 \) mới là điểm bất định, không phải \( x = 2 \). Do đó, đường thẳng \( x = 2 \) không phải là đường tiệm cận đứng. Khẳng định này là sai. d) Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là \((1;1)\). Đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng vì: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty \text{ và } \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \] Để tìm đường tiệm cận ngang, ta tính: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}{x(1 - \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}{1 - \frac{1}{x}} = x \] Do đó, đường tiệm cận ngang là \( y = x \). Giao điểm của hai đường tiệm cận \( x = 1 \) và \( y = x \) là: \[ x = 1 \text{ và } y = 1 \] Như vậy, giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ là \((1;1)\). Khẳng định này là đúng. Kết luận: - Khẳng định a) là sai. - Khẳng định b) là đúng. - Khẳng định c) là sai. - Khẳng định d) là đúng.