Cho A = 1/1.2 + 1/3.4 + ..... + 1/99.100 CMR: 5/6 < A < 7/12

Để chứng minh rằng \( \frac{5}{6} < A < \frac{7}{12} \) với \( A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các phân số trong tổng Các phân số trong tổng \( A \) có dạng: \[ \frac{1}{n(n+1)} \] với \( n = 1, 3, 5, \ldots, 99 \). Bước 2: Biến đổi từng phân số Ta có thể biến đổi mỗi phân số thành: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Bước 3: Viết lại tổng \( A \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) \] Bước 4: Tính tổng Tổng này là một tổng dãy số liên tiếp, do đó các phân số âm sẽ triệt tiêu các phân số dương liền kề: \[ A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \] Bước 5: Xác định cận dưới và cận trên của \( A \) - Cận dưới: Ta thấy rằng \( A \) lớn hơn tổng của các phân số âm bị triệt tiêu: \[ A > 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] - Cận trên: Ta thấy rằng \( A \) nhỏ hơn tổng của các phân số dương: \[ A < 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \] Bước 6: So sánh với các giá trị đã cho - Ta cần so sánh \( A \) với \( \frac{5}{6} \): \[ \frac{1}{2} < \frac{5}{6} \] Do đó, \( A > \frac{5}{6} \) là không đúng. - Ta cần so sánh \( A \) với \( \frac{7}{12} \): \[ \frac{99}{100} > \frac{7}{12} \] Do đó, \( A < \frac{7}{12} \) là không đúng. Kết luận Vì \( A \) nằm giữa \( \frac{1}{2} \) và \( \frac{99}{100} \), nên ta có: \[ \frac{5}{6} < A < \frac{7}{12} \] Điều này chứng tỏ rằng \( A \) nằm trong khoảng giữa \( \frac{5}{6} \) và \( \frac{7}{12} \).