Giải câu sau:

Câu 1. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận trung bình $\overline{P}(x)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Vì $\overline{P}(x) = \frac{R(x) - C(x)}{x}$, nên $x > 0$ để đảm bảo mẫu số không bằng 0. 2. Tính biểu thức của $\overline{P}(x)$: \[ R(x) = 75,5x \] \[ C(x) = 25,5x + 1000 \] \[ \overline{P}(x) = \frac{R(x) - C(x)}{x} = \frac{75,5x - (25,5x + 1000)}{x} = \frac{75,5x - 25,5x - 1000}{x} = \frac{50x - 1000}{x} \] \[ \overline{P}(x) = 50 - \frac{1000}{x} \] 3. Tìm giá trị lớn nhất của $\overline{P}(x)$: - Ta thấy rằng $\overline{P}(x) = 50 - \frac{1000}{x}$ là một hàm giảm khi $x$ tăng vì $\frac{1000}{x}$ là hàm giảm. - Do đó, khi $x$ tiến đến vô cùng ($x \to \infty$), $\frac{1000}{x}$ tiến đến 0, và $\overline{P}(x)$ tiến đến 50. Vậy giá trị lớn nhất của $\overline{P}(x)$ là 50 triệu đồng, đạt được khi $x$ tiến đến vô cùng. Đáp số: Lợi nhuận trung bình sẽ không vượt quá 50 triệu đồng. Câu 2. Giả sử đại lý mua x điện thoại, ta có: Giá tiền của mỗi điện thoại là 6000 - 3x (nghìn đồng) Số tiền hãng thu được từ đại lý là: \[ f(x) = x(6000 - 3x) = 6000x - 3x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \), ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 6000 - 6x \] Đặt \( f'(x) = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ 6000 - 6x = 0 \] \[ 6x = 6000 \] \[ x = 1000 \] Ta kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) ở hai bên điểm \( x = 1000 \): - Khi \( x < 1000 \), ta có \( f'(x) > 0 \), tức là hàm số \( f(x) \) đang tăng. - Khi \( x > 1000 \), ta có \( f'(x) < 0 \), tức là hàm số \( f(x) \) đang giảm. Do đó, tại \( x = 1000 \), hàm số \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất. Vậy đại lý nên mua 1000 chiếc điện thoại để hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lý đó. Đáp số: 1000 chiếc điện thoại. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để xác định vị trí của hai chiếc khinh khí cầu và sau đó tìm khoảng cách từ điểm xuất phát đến mỗi chiếc khinh khí cầu. 1. Xác định tọa độ của hai chiếc khinh khí cầu: - Chiếc thứ nhất: Cách điểm xuất phát 3 km về phía Đông, 2 km về phía Nam và 0,5 km trên mặt đất. Tọa độ của nó là \( A(3, -2, 0.5) \). - Chiếc thứ hai: Cách điểm xuất phát 1 km về phía Bắc, 1 km về phía Tây và 0,3 km trên mặt đất. Tọa độ của nó là \( B(-1, 1, 0.3) \). 2. Tìm khoảng cách từ điểm xuất phát (0, 0, 0) đến mỗi chiếc khinh khí cầu: - Khoảng cách từ điểm xuất phát đến chiếc thứ nhất: \[ d_A = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-0)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{9 + 4 + 0.25} = \sqrt{13.25} \approx 3.64 \text{ km} \] - Khoảng cách từ điểm xuất phát đến chiếc thứ hai: \[ d_B = \sqrt{(-1-0)^2 + (1-0)^2 + (0.3-0)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0.09} = \sqrt{2.09} \approx 1.45 \text{ km} \] 3. Tổng khoảng cách từ điểm xuất phát đến hai chiếc khinh khí cầu: \[ d_{total} = d_A + d_B \approx 3.64 + 1.45 = 5.09 \text{ km} \] Vậy tổng khoảng cách nhỏ nhất từ điểm xuất phát đến hai chiếc khinh khí cầu là khoảng 5.09 km. Câu 4. Để tìm điểm \( E \) trên mặt phẳng tọa độ \( (Oxy) \) mà đường thẳng \( AB \) đi qua, ta cần xác định tọa độ của điểm \( E \). Đầu tiên, ta viết phương trình tham số của đường thẳng \( AB \): - Vector \( \overrightarrow{AB} = (3 - 1, -2 - 2, -1 - 3) = (2, -4, -4) \). Phương trình tham số của đường thẳng \( AB \) là: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - 4t \\ z = 3 - 4t \end{cases} \] Điểm \( E \) nằm trên mặt phẳng \( (Oxy) \), do đó tọa độ \( z \) của điểm \( E \) phải bằng 0. Ta đặt \( z = 0 \) và giải phương trình: \[ 3 - 4t = 0 \implies t = \frac{3}{4} \] Thay \( t = \frac{3}{4} \) vào phương trình tham số của đường thẳng \( AB \): \[ \begin{cases} x = 1 + 2 \left(\frac{3}{4}\right) = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \\ y = 2 - 4 \left(\frac{3}{4}\right) = 2 - 3 = -1 \\ z = 0 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm \( E \) là \( \left( \frac{5}{2}, -1, 0 \right) \). Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức \( T = a^2 + b^2 + c^2 \): \[ T = \left( \frac{5}{2} \right)^2 + (-1)^2 + 0^2 = \frac{25}{4} + 1 + 0 = \frac{25}{4} + \frac{4}{4} = \frac{29}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là: \[ T = \frac{29}{4} \] Câu 5. Trước tiên, chúng ta sẽ sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần: 41, 42, 44, 44, 45, 45, 46, 47, 47, 47, 48, 48, 48, 49, 49, 50, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 55, 55, 56, 57, 57, 58, 59, 60, 60, 60, 61, 61, 62, 62, 63, 65, 68 Tiếp theo, chúng ta sẽ ghép nhóm dữ liệu vào sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng đã cho: - Nhóm [40;45): 41, 42, 44, 44, 45, 45 - Nhóm [45;50): 46, 47, 47, 47, 48, 48, 48, 49, 49, 50 - Nhóm [50;55): 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 55, 55 - Nhóm [55;60): 56, 57, 57, 58, 59, 60, 60, 60 - Nhóm [60;65): 61, 61, 62, 62, 63, 65 - Nhóm [65;70): 68 Bây giờ, chúng ta sẽ tính trung vị của mỗi nhóm: - Nhóm [40;45): Trung vị là $\frac{44 + 45}{2} = 44.5$ - Nhóm [45;50): Trung vị là $\frac{48 + 49}{2} = 48.5$ - Nhóm [50;55): Trung vị là $\frac{53 + 54}{2} = 53.5$ - Nhóm [55;60): Trung vị là $\frac{58 + 59}{2} = 58.5$ - Nhóm [60;65): Trung vị là $\frac{62 + 63}{2} = 62.5$ - Nhóm [65;70): Trung vị là 68 Cuối cùng, chúng ta sẽ tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm: - Số lượng nhóm là 6, do đó trung vị nằm giữa hai nhóm thứ 3 và thứ 4. - Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\frac{53.5 + 58.5}{2} = \frac{112}{2} = 56$ Vậy giá trị của a là 56. Đáp số: a = 56 Câu 6. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trung tâm của mỗi nhóm. - Nhân trung tâm của mỗi nhóm với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị đã nhân và chia cho tổng tần số. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương hiệu giữa mỗi giá trị trung tâm và trung bình cộng. - Nhân bình phương này với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị đã nhân và chia cho tổng tần số. Bước 1: Tính trung tâm của mỗi nhóm và trung bình cộng của mẫu số liệu. | Nhóm | Trung tâm | Tần số | Trung tâm × Tần số | |---------------|-----------|--------|-------------------| | [16,8; 19,8) | 18,3 | 2 | 36,6 | | [19,8; 22,8) | 21,3 | 3 | 63,9 | | [22,8; 25,8) | 24,3 | 2 | 48,6 | | [25,8; 28,8) | 27,3 | 1 | 27,3 | | [28,8; 31,8) | 30,3 | 4 | 121,2 | Tổng trung tâm × tần số: \[ 36,6 + 63,9 + 48,6 + 27,3 + 121,2 = 297,6 \] Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{297,6}{12} = 24,8 \] Bước 2: Tính phương sai. | Nhóm | Trung tâm | Tần số | (Trung tâm - Trung bình)² | (Trung tâm - Trung bình)² × Tần số | |---------------|-----------|--------|--------------------------|----------------------------------| | [16,8; 19,8) | 18,3 | 2 | (18,3 - 24,8)² = 42,25 | 42,25 × 2 = 84,5 | | [19,8; 22,8) | 21,3 | 3 | (21,3 - 24,8)² = 12,25 | 12,25 × 3 = 36,75 | | [22,8; 25,8) | 24,3 | 2 | (24,3 - 24,8)² = 0,25 | 0,25 × 2 = 0,5 | | [25,8; 28,8) | 27,3 | 1 | (27,3 - 24,8)² = 6,25 | 6,25 × 1 = 6,25 | | [28,8; 31,8) | 30,3 | 4 | (30,3 - 24,8)² = 30,25 | 30,25 × 4 = 121 | Tổng (Trung tâm - Trung bình)² × Tần số: \[ 84,5 + 36,75 + 0,5 + 6,25 + 121 = 249 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{249}{12} = 20,75 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu đó là 20,75 (làm tròn đến hàng phần mười). Đáp số: 20,8