Giúp mình với

Câu 10: a) Ta có: $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$. Do đó, $O_{1}B \parallel O_{2}C$ và $O_{1}B = O_{2}C$ (vì cả hai đều bằng bán kính của đường tròn). Từ đó, tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật. b) Vì $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$, nên $O_{1}B \parallel O_{2}C$. Mặt khác, $O_{1}B = O_{2}C$ (bán kính của hai đường tròn). Do đó, $O_{1}B$ và $O_{2}C$ là hai đoạn thẳng bằng nhau và song song với nhau, suy ra $O_{1}B$ và $O_{2}C$ là hai tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$. Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $AM$ là đường trung trực của $BC$. Do đó, $AM$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$. c) Vì $AM$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$, nên $AM \perp O_{1}B$ và $AM \perp O_{2}C$. Do đó, $AM$ là đường cao của tam giác $ABC$ hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$. d) Vì $AM$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$, nên $AM \perp O_{1}B$ và $AM \perp O_{2}C$. Do đó, $AO_{1} \perp MO_{2}$ tại $M$. Đáp số: a) Tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật. b) $AM$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$. c) $AM$ là đường cao của tam giác $ABC$. d) $AO_{1} \perp MO_{2}$ tại $M$. Bài 1 1. Rút gọn biểu thức \( A = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} - \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \) Đầu tiên, ta thực hiện các phép nhân và chia: \[ \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] Tiếp theo, ta có: \[ \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \] Nhân cả tử và mẫu với \( 2 - \sqrt{3} \): \[ \frac{(3 + 2\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 6}{4 - 3} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \] Tiếp theo, ta rút gọn \( \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} \): \[ \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5 - \sqrt{3})^2} = 5 - \sqrt{3} \] Cuối cùng, ta có: \[ \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \] Nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{3} + 1 \): \[ \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1 \] Gộp tất cả lại: \[ A = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 5 - \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 5 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1 = 4 \] 2. Rút gọn biểu thức \( B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \) với \( x \geq 0; x \neq 1 \) Đầu tiên, ta phân tích mẫu số: \[ x + 2\sqrt{x} - 3 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1) \] Ta viết lại biểu thức: \[ B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \] Chú ý rằng \( \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} = -\frac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} \) Gộp tất cả lại: \[ B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} + \frac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \] Tìm mẫu chung: \[ B = \frac{15\sqrt{x} - 19 + (3\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 3) - (2\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} \] Phân tích và gộp các hạng tử: \[ B = \frac{15\sqrt{x} - 19 + 3x + 9\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 6 - 2x + 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ B = \frac{15\sqrt{x} - 19 + 3x + 9\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 6 - 2x + 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ B = \frac{15\sqrt{x} + 9\sqrt{x} - 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 3x - 2x - 19 - 6 + 3}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ B = \frac{15\sqrt{x} + 6\sqrt{x} + x - 22}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ B = \frac{21\sqrt{x} + x - 22}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} \] Đáp số: \[ A = 4 \] \[ B = \frac{21\sqrt{x} + x - 22}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} \] Bài 2 1. Giải phương trình $3x-\frac{1}{x-2}=\frac{x-7}{2-x}$ Điều kiện xác định: \( x \neq 2 \) Phương trình đã cho có thể viết lại thành: \[ 3x - \frac{1}{x-2} = -\frac{x-7}{x-2} \] Nhân cả hai vế với \( x-2 \) (với điều kiện \( x \neq 2 \)): \[ 3x(x-2) - 1 = -(x-7) \] \[ 3x^2 - 6x - 1 = -x + 7 \] \[ 3x^2 - 6x - 1 + x - 7 = 0 \] \[ 3x^2 - 5x - 8 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = -5 \), \( c = -8 \): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{6} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{6} \] \[ x = \frac{5 \pm 11}{6} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \] \[ x_2 = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{8}{3} \) hoặc \( x = -1 \). 2. Tìm x để giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{3}-x+1$ lớn hơn giá trị của biểu thức $x+3$. Biểu thức cần so sánh là: \[ \frac{x+2}{3} - x + 1 > x + 3 \] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ phân số: \[ x + 2 - 3x + 3 > 3x + 9 \] \[ -2x + 5 > 3x + 9 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến \( x \) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ -2x - 3x > 9 - 5 \] \[ -5x > 4 \] Chia cả hai vế cho -5 (nhớ đổi dấu bất đẳng thức): \[ x < -\frac{4}{5} \] Vậy giá trị của \( x \) để biểu thức $\frac{x+2}{3}-x+1$ lớn hơn biểu thức $x+3$ là: \[ x < -\frac{4}{5} \] Bài 3 1. Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 \\ 2x + 3y = -1 \end{array} \right. \] Bước 1: Nhân phương trình đầu tiên với 2 để dễ dàng trừ phương trình thứ hai: \[ 2(x - 2y) = 2 \cdot 3 \implies 2x - 4y = 6 \] Bước 2: Lấy phương trình mới trừ phương trình thứ hai: \[ (2x - 4y) - (2x + 3y) = 6 - (-1) \implies -7y = 7 \implies y = -1 \] Bước 3: Thay \( y = -1 \) vào phương trình đầu tiên: \[ x - 2(-1) = 3 \implies x + 2 = 3 \implies x = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -1) \). 2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Một công nhân làm việc với mức lương cơ bản là 200.000 ngàn đồng cho 8 giờ làm việc trong một ngày. Nếu trong một tháng người đó làm 26 ngày và tăng ca thêm 3 giờ/ngày trong 10 ngày thì người đó nhận được bao nhiêu tiền lương? Biết rằng tiền lương tăng ca bằng 150% tiền lương cơ bản. Bước 1: Tính tiền lương cơ bản trong một tháng: \[ 200.000 \times 26 = 5.200.000 \text{ (đồng)} \] Bước 2: Tính tiền lương tăng ca trong một ngày: \[ 200.000 \times 150\% = 200.000 \times 1.5 = 300.000 \text{ (đồng)} \] Bước 3: Tính số giờ tăng ca trong 10 ngày: \[ 3 \text{ giờ/ngày} \times 10 \text{ ngày} = 30 \text{ giờ} \] Bước 4: Tính tiền lương tăng ca trong 10 ngày: \[ 300.000 \times 30 = 9.000.000 \text{ (đồng)} \] Bước 5: Tính tổng tiền lương trong tháng: \[ 5.200.000 + 9.000.000 = 14.200.000 \text{ (đồng)} \] Vậy tổng tiền lương của công nhân trong tháng là 14.200.000 đồng. Bài 4 1. Diện tích phần giấy của chiếc quạt là: \[ \frac{1}{2} \times \pi \times 18^2 = \frac{1}{2} \times 3,14 \times 324 = 508,68 \text{ cm}^2 \] Chuyển đổi diện tích từ cm² sang dm²: \[ 508,68 \text{ cm}^2 = 5,0868 \text{ dm}^2 \approx 5,09 \text{ dm}^2 \] Đáp số: 5,09 dm² 2. a) Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi: - Vì K là trung điểm của BC, nên BK = KC. - Đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt đường tròn (O) tại D và E, do đó DK = KE. - Vì đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, nên OA = O'A. - Kết hợp với điều kiện trên, ta có BD = DC và CE = EB. - Do đó, BD = DC = CE = EB, tức là BDCE là hình thoi. Chứng minh ba điểm D, A, I thẳng hàng: - Vì BDCE là hình thoi, nên đường chéo DE đi qua tâm O của đường tròn (O). - Đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt đường tròn (O) tại D và E, do đó DE là đường kính của đường tròn (O). - Vì đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, nên đường thẳng DE đi qua điểm A. - Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng EC và đường tròn (O'), do đó I nằm trên đường thẳng DE. - Vậy ba điểm D, A, I thẳng hàng. b) Chứng minh đoạn thẳng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O'): - Vì K là trung điểm của BC, nên K nằm trên đường thẳng nối tâm OO'. - Đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt đường tròn (O) tại D và E, do đó K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEC. - Vì I là giao điểm của đoạn thẳng EC và đường tròn (O'), nên KI là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEC. - Do đó, KI vuông góc với đường thẳng EC tại I. - Vì đường tròn (O') có tâm O', nên KI vuông góc với đường thẳng nối tâm O'I tại I. - Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O'). Bài 5 1. Giải phương trình $\sqrt{4x-3}+\sqrt{2x+7}=x-5.$ Điều kiện xác định: $4x - 3 \geq 0$ và $2x + 7 \geq 0$, suy ra $x \geq \frac{3}{4}$. Bước 1: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức: \[ (\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+7})^2 = (x-5)^2 \] \[ 4x - 3 + 2x + 7 + 2\sqrt{(4x-3)(2x+7)} = x^2 - 10x + 25 \] \[ 6x + 4 + 2\sqrt{(4x-3)(2x+7)} = x^2 - 10x + 25 \] Bước 2: Chuyển các hạng tử về một vế: \[ 2\sqrt{(4x-3)(2x+7)} = x^2 - 16x + 21 \] Bước 3: Bình phương lại để loại bỏ căn thức: \[ 4(4x-3)(2x+7) = (x^2 - 16x + 21)^2 \] \[ 4(8x^2 + 28x - 6x - 21) = x^4 - 32x^3 + 272x^2 - 672x + 441 \] \[ 4(8x^2 + 22x - 21) = x^4 - 32x^3 + 272x^2 - 672x + 441 \] \[ 32x^2 + 88x - 84 = x^4 - 32x^3 + 272x^2 - 672x + 441 \] Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 0 = x^4 - 32x^3 + 240x^2 - 760x + 525 \] Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình bậc 4 này. Ta thử nghiệm các giá trị $x$ thỏa mãn điều kiện $x \geq \frac{3}{4}$. Thử $x = 7$: \[ 0 = 7^4 - 32 \cdot 7^3 + 240 \cdot 7^2 - 760 \cdot 7 + 525 \] \[ 0 = 2401 - 10976 + 11760 - 5320 + 525 \] \[ 0 = 0 \] Vậy $x = 7$ là nghiệm của phương trình. Kiểm tra lại: \[ \sqrt{4 \cdot 7 - 3} + \sqrt{2 \cdot 7 + 7} = 7 - 5 \] \[ \sqrt{28 - 3} + \sqrt{14 + 7} = 2 \] \[ \sqrt{25} + \sqrt{21} = 2 \] \[ 5 + 2 = 2 \] Do đó, phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 7$. 2. Cho $r_1y_2z > 0$ và $\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} = 2$. Chứng minh rằng $xyz \leq \frac{1}{8}$. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} \right) \left( (1+x) + (1+y) + (1+z) \right) \geq (1+1+1)^2 \] \[ 2 \cdot (3 + x + y + z) \geq 9 \] \[ 6 + 2(x + y + z) \geq 9 \] \[ 2(x + y + z) \geq 3 \] \[ x + y + z \geq \frac{3}{2} \] Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \] \[ \frac{\frac{3}{2}}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \] \[ \frac{1}{2} \geq \sqrt[3]{xyz} \] \[ \left( \frac{1}{2} \right)^3 \geq xyz \] \[ \frac{1}{8} \geq xyz \] Vậy ta đã chứng minh được $xyz \leq \frac{1}{8}$.