Giúp mik vs ạ

Để xác định đường thẳng \( x = -1 \) là tiệm cận đứng của hàm số nào trong các lựa chọn đã cho, ta cần kiểm tra các hàm số để xem liệu chúng có bị vô định khi \( x \to -1 \) hay không. A. \( y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} \) Ta thấy rằng: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] Khi \( x = -1 \): \[ x^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 0 \] Do đó, hàm số này có dạng \( \frac{0}{0} \) khi \( x = -1 \). Ta cần kiểm tra xem nó có bị vô định hay không: \[ x^2 - 3x + 2 = (-1)^2 - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \neq 0 \] Vậy, khi \( x \to -1 \), mẫu số tiến đến 0 nhưng tử số không tiến đến 0, nên hàm số này có tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). B. \( y = \frac{x + 1}{x^2 + 4x + 3} \) Ta thấy rằng: \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \] Khi \( x = -1 \): \[ x^2 + 4x + 3 = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \] Do đó, hàm số này có dạng \( \frac{0}{0} \) khi \( x = -1 \). Ta cần kiểm tra xem nó có bị vô định hay không: \[ x + 1 = -1 + 1 = 0 \] Vậy, khi \( x \to -1 \), cả tử số và mẫu số đều tiến đến 0, nên ta cần xét giới hạn: \[ \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{(x + 1)(x + 3)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{-1 + 3} = \frac{1}{2} \] Hàm số này không có tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). C. \( y = \frac{x + 1}{x^2 + 1} \) Ta thấy rằng: \[ x^2 + 1 \neq 0 \text{ với mọi } x \] Do đó, hàm số này không có tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). D. \( y = \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 1} \) Ta thấy rằng: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] Khi \( x = -1 \): \[ x^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 0 \] Do đó, hàm số này có dạng \( \frac{0}{0} \) khi \( x = -1 \). Ta cần kiểm tra xem nó có bị vô định hay không: \[ x^2 + 3x + 2 = (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Vậy, khi \( x \to -1 \), cả tử số và mẫu số đều tiến đến 0, nên ta cần xét giới hạn: \[ \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{-1 + 2}{-1 - 1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \] Hàm số này không có tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). Kết luận: Đường thẳng \( x = -1 \) là tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} \). Đáp án đúng là: A. \( y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} \) Câu 5. Bài 5.1: Để xác định hàm số có đồ thị giống như đường cong trong hình vẽ, ta cần kiểm tra các tính chất của hàm số như giới hạn, đạo hàm và điểm cực trị. A. $y = -x^3 + 3x + 1$ B. $y = x^3 - 3x + 1$ C. $y = 2x^2 + 1$ D. $y = x^3 + 2x^2 + 1$ Kiểm tra giới hạn: - Các hàm số có dạng $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ sẽ có giới hạn khi $x \to \pm\infty$ là $\pm\infty$ tùy thuộc vào dấu của $a$. - Hàm số $y = 2x^2 + 1$ là hàm bậc hai, có giới hạn khi $x \to \pm\infty$ là $+\infty$. Kiểm tra đạo hàm: - Đạo hàm của $y = -x^3 + 3x + 1$ là $y' = -3x^2 + 3$. - Đạo hàm của $y = x^3 - 3x + 1$ là $y' = 3x^2 - 3$. - Đạo hàm của $y = 2x^2 + 1$ là $y' = 4x$. - Đạo hàm của $y = x^3 + 2x^2 + 1$ là $y' = 3x^2 + 4x$. Kiểm tra điểm cực trị: - Điểm cực trị của $y = -x^3 + 3x + 1$ là $y' = -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$. - Điểm cực trị của $y = x^3 - 3x + 1$ là $y' = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$. - Điểm cực trị của $y = 2x^2 + 1$ là $y' = 4x = 0 \Rightarrow x = 0$. - Điểm cực trị của $y = x^3 + 2x^2 + 1$ là $y' = 3x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = -\frac{4}{3}$. Từ các tính chất trên, ta thấy rằng đồ thị của hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ có dạng giống như đường cong trong hình vẽ. Đáp án: B. $y = x^3 - 3x + 1$ Bài 5.2: Để xác định hàm số có đồ thị giống như đường cong trong hình vẽ, ta cần kiểm tra các tính chất của hàm số như giới hạn, đạo hàm và điểm cực trị. A. $y = x^3 - 3x^2 - 2$ B. $y = -x^3 + 3x^2 + 2$ C. $y = -x^3 + 3x^2 - 2$ D. $y = x^3 + 3x^2 - 2$ Kiểm tra giới hạn: - Các hàm số có dạng $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ sẽ có giới hạn khi $x \to \pm\infty$ là $\pm\infty$ tùy thuộc vào dấu của $a$. - Hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 2$ và $y = -x^3 + 3x^2 - 2$ có giới hạn khi $x \to \pm\infty$ là $-\infty$. Kiểm tra đạo hàm: - Đạo hàm của $y = x^3 - 3x^2 - 2$ là $y' = 3x^2 - 6x$. - Đạo hàm của $y = -x^3 + 3x^2 + 2$ là $y' = -3x^2 + 6x$. - Đạo hàm của $y = -x^3 + 3x^2 - 2$ là $y' = -3x^2 + 6x$. - Đạo hàm của $y = x^3 + 3x^2 - 2$ là $y' = 3x^2 + 6x$. Kiểm tra điểm cực trị: - Điểm cực trị của $y = x^3 - 3x^2 - 2$ là $y' = 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. - Điểm cực trị của $y = -x^3 + 3x^2 + 2$ là $y' = -3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. - Điểm cực trị của $y = -x^3 + 3x^2 - 2$ là $y' = -3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. - Điểm cực trị của $y = x^3 + 3x^2 - 2$ là $y' = 3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$. Từ các tính chất trên, ta thấy rằng đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 2$ có dạng giống như đường cong trong hình vẽ. Đáp án: B. $y = -x^3 + 3x^2 + 2$ Câu 6. Để xác định đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ tiến hành phân tích các đặc điểm của đồ thị. 1. Phân tích đặc điểm đồ thị: - Đồ thị có dạng parabol, mở rộng ra hai phía. - Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, 1). - Đồ thị có đỉnh ở điểm (0, 1). 2. Xác định dạng chung của hàm số: - Vì đồ thị có dạng parabol, nên hàm số có thể là dạng \( f(x) = ax^2 + bx + c \). 3. Xác định các hệ số: - Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, 1), tức là \( f(0) = 1 \). Do đó, \( c = 1 \). - Đỉnh của parabol nằm ở điểm (0, 1), tức là \( x = 0 \) là đỉnh của parabol. Điều này cho thấy \( b = 0 \) (vì đỉnh của parabol \( ax^2 + bx + c \) là \( x = -\frac{b}{2a} \)). 4. Xác định hệ số \( a \): - Vì đồ thị mở rộng ra hai phía, \( a \) phải là số dương. Để đơn giản, ta chọn \( a = 1 \). Do đó, hàm số của đồ thị là: \[ f(x) = x^2 + 1 \] Kết luận: Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số \( f(x) = x^2 + 1 \).