đh x^4 + 2/x^2

Để giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( f(x) = x^4 + \frac{2}{x^2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Biểu thức \( f(x) = x^4 + \frac{2}{x^2} \) có chứa phân thức \( \frac{2}{x^2} \). Do đó, điều kiện xác định là: \[ x^2 \neq 0 \] \[ x \neq 0 \] Bước 2: Tìm đạo hàm của \( f(x) \) Đạo hàm của \( f(x) \) là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left( x^4 + \frac{2}{x^2} \right) \] \[ f'(x) = 4x^3 - \frac{4}{x^3} \] Bước 3: Tìm điểm cực trị Để tìm điểm cực trị, chúng ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ 4x^3 - \frac{4}{x^3} = 0 \] \[ 4x^3 = \frac{4}{x^3} \] \[ x^6 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 4: Xét dấu đạo hàm để xác định tính chất của các điểm cực trị - Khi \( x < -1 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm giảm) - Khi \( -1 < x < 0 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm tăng) - Khi \( 0 < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm giảm) - Khi \( x > 1 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm tăng) Từ đó, ta thấy: - \( x = -1 \) là điểm cực tiểu - \( x = 1 \) là điểm cực tiểu Bước 5: Tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm cực trị - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^4 + \frac{2}{(-1)^2} = 1 + 2 = 3 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^4 + \frac{2}{1^2} = 1 + 2 = 3 \] Kết luận Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( f(x) = x^4 + \frac{2}{x^2} \) là 3, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 1 \). Đáp số: GTNN của \( f(x) \) là 3, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 1 \).