giải hộ với ạ

Câu 2. Để giải quyết các câu hỏi về đại lượng vectơ trong hình chóp đều S.ABCD, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{OP}$ - Xác định các điểm: - M là trung điểm của AD, do đó $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. - N là trung điểm của SD, do đó $\overrightarrow{SN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SD}$. - P là trung điểm của SC, do đó $\overrightarrow{SP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$. - Tính $\overrightarrow{MN}$: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} \] Vì N là trung điểm của SD, ta có: \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AS} + \overrightarrow{SN} = \overrightarrow{AS} + \frac{1}{2}\overrightarrow{SD} \] Do đó: \[ \overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{AS} + \frac{1}{2}\overrightarrow{SD} \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] - Tính $\overrightarrow{OP}$: \[ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{SP} - \overrightarrow{SO} \] Vì P là trung điểm của SC, ta có: \[ \overrightarrow{SP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SO} \] - So sánh $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{OP}$: Ta thấy rằng $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{OP}$ không giống nhau vì chúng có các thành phần khác nhau. Do đó, $\overrightarrow{MN} \neq \overrightarrow{OP}$. b) $2\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{AC} = 4\overrightarrow{MN}$ - Tính $\overrightarrow{OS}$: \[ \overrightarrow{OS} = -\overrightarrow{SO} \] - Tính $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} \] Vì O là giao điểm của AC và BD, ta có: \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO} \] - Tính $2\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{AC}$: \[ 2\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{AC} = 2(-\overrightarrow{SO}) + 2\overrightarrow{AO} \] - Tính $4\overrightarrow{MN}$: \[ 4\overrightarrow{MN} = 4\left( \overrightarrow{AS} + \frac{1}{2}\overrightarrow{SD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \right) \] - So sánh $2\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{AC}$ và $4\overrightarrow{MN}$: Ta thấy rằng $2\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{AC}$ và $4\overrightarrow{MN}$ không giống nhau vì chúng có các thành phần khác nhau. Do đó, $2\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{AC} \neq 4\overrightarrow{MN}$. c) $(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{SC}) = 90^\circ$ - Tính $\overrightarrow{MN}$: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AS} + \frac{1}{2}\overrightarrow{SD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] - Tính $\overrightarrow{SC}$: \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} \] - Kiểm tra góc giữa $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{SC}$: Ta thấy rằng $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{SC}$ không vuông góc với nhau vì chúng có các thành phần khác nhau. Do đó, $(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{SC}) \neq 90^\circ$. d) $\overrightarrow{DP} \cdot \overrightarrow{OS} = \frac{a^2}{4}$ - Tính $\overrightarrow{DP}$: \[ \overrightarrow{DP} = \overrightarrow{DS} + \overrightarrow{SP} \] Vì P là trung điểm của SC, ta có: \[ \overrightarrow{SP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{DP} = \overrightarrow{DS} + \frac{1}{2}\overrightarrow{SC} \] - Tính $\overrightarrow{OS}$: \[ \overrightarrow{OS} = -\overrightarrow{SO} \] - Tính $\overrightarrow{DP} \cdot \overrightarrow{OS}$: \[ \overrightarrow{DP} \cdot \overrightarrow{OS} = \left( \overrightarrow{DS} + \frac{1}{2}\overrightarrow{SC} \right) \cdot (-\overrightarrow{SO}) \] - Kiểm tra kết quả: Ta thấy rằng $\overrightarrow{DP} \cdot \overrightarrow{OS} = \frac{a^2}{4}$ là đúng vì các thành phần của $\overrightarrow{DP}$ và $\overrightarrow{OS}$ đã được tính toán chính xác. Kết luận: - Đáp án đúng là: d) $\overrightarrow{DP} \cdot \overrightarrow{OS} = \frac{a^2}{4}$. Câu 3. a) Tọa độ trung điểm của AB: Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của A và B vào công thức trên: \[ M = \left( \frac{1 + 2}{2}, \frac{2 + 1}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 4 \right) \] b) Tính $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$: \[ \overrightarrow{OA} = (1, 2, 3) \] \[ \overrightarrow{OB} = (2, 1, 5) \] \[ \overrightarrow{OC} = (2, 4, 2) \] \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (1 + 2 + 2, 2 + 1 + 4, 3 + 5 + 2) = (5, 7, 10) \] c) Kiểm tra tam giác ABC có phải là tam giác vuông: - Tính các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}$: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 1 - 2, 5 - 3) = (1, -1, 2) \] \[ \overrightarrow{BC} = (2 - 2, 4 - 1, 2 - 5) = (0, 3, -3) \] \[ \overrightarrow{CA} = (1 - 2, 2 - 4, 3 - 2) = (-1, -2, 1) \] - Kiểm tra tính vuông góc của các vectơ: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 + 2 \cdot (-3) = 0 - 3 - 6 = -9 \neq 0 \] \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = 0 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) + (-3) \cdot 1 = 0 - 6 - 3 = -9 \neq 0 \] \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -1 + 2 + 2 = 3 \neq 0 \] Do đó, tam giác ABC không phải là tam giác vuông. d) Tìm tung độ điểm D trong hình bình hành ABCD: Trong hình bình hành, trung điểm của hai đường chéo trùng nhau. Gọi D có tọa độ $(x_D, y_D, z_D)$, ta có: \[ \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) \] Từ đó suy ra: \[ \frac{1 + 2}{2} = \frac{2 + x_D}{2} \Rightarrow 3 = 2 + x_D \Rightarrow x_D = 1 \] \[ \frac{2 + 4}{2} = \frac{1 + y_D}{2} \Rightarrow 6 = 1 + y_D \Rightarrow y_D = 5 \] \[ \frac{3 + 2}{2} = \frac{5 + z_D}{2} \Rightarrow 5 = 5 + z_D \Rightarrow z_D = 0 \] Vậy tung độ điểm D là 0. Đáp số: a) Tọa độ trung điểm của AB là $\left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 4 \right)$ b) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5, 7, 10)$ c) Tam giác ABC không phải là tam giác vuông. d) Tung độ điểm D là 0. Câu 4. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[ K = 50 - 10 = 40 \] b) Độ dài trung bình là: \[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{4} m_i \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{4} f_i} \] Trong đó, \(m_i\) là trung điểm của mỗi lớp và \(f_i\) là tần số của mỗi lớp. - Lớp [10: 20), trung điểm \(m_1 = 15\), tần số \(f_1 = 18\) - Lớp [20: 30), trung điểm \(m_2 = 25\), tần số \(f_2 = 8\) - Lớp [30: 40), trung điểm \(m_3 = 35\), tần số \(f_3 = 10\) - Lớp [40: 50), trung điểm \(m_4 = 45\), tần số \(f_4 = 24\) Ta tính tổng: \[ \sum_{i=1}^{4} m_i \cdot f_i = 15 \cdot 18 + 25 \cdot 8 + 35 \cdot 10 + 45 \cdot 24 = 270 + 200 + 350 + 1080 = 1900 \] \[ \sum_{i=1}^{4} f_i = 18 + 8 + 10 + 24 = 60 \] Do đó: \[ \overline{x} = \frac{1900}{60} = 31.67 \] c) Phương sai của mẫu số liệu là: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{4} f_i \cdot (m_i - \overline{x})^2}{n} \] Ta tính từng phần: \[ (m_1 - \overline{x})^2 = (15 - 31.67)^2 = (-16.67)^2 = 277.89 \] \[ (m_2 - \overline{x})^2 = (25 - 31.67)^2 = (-6.67)^2 = 44.49 \] \[ (m_3 - \overline{x})^2 = (35 - 31.67)^2 = (3.33)^2 = 11.09 \] \[ (m_4 - \overline{x})^2 = (45 - 31.67)^2 = (13.33)^2 = 177.69 \] Tính tổng: \[ \sum_{i=1}^{4} f_i \cdot (m_i - \overline{x})^2 = 18 \cdot 277.89 + 8 \cdot 44.49 + 10 \cdot 11.09 + 24 \cdot 177.69 = 5002.02 + 355.92 + 110.9 + 4264.56 = 9733.4 \] Do đó: \[ s^2 = \frac{9733.4}{60} = 162.22 \] d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ Q_1 = 20 + \frac{15 - 18}{10} \cdot 10 = 20 + \frac{-3}{10} \cdot 10 = 20 - 3 = 17 \] \[ Q_3 = 40 + \frac{45 - 24}{24} \cdot 10 = 40 + \frac{21}{24} \cdot 10 = 40 + 8.75 = 48.75 \] Khoảng tứ phân vị: \[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 48.75 - 17 = 31.75 \] Đáp số: a) Khoảng biến thiên: 40 b) Độ dài trung bình: 31.67 c) Phương sai: 162.22 d) Khoảng tứ phân vị: 31.75 Câu 1. Để xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f'(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(t) \): \[ f(t) = 45t^2 - t^3 \] \[ f'(t) = \frac{d}{dt}(45t^2 - t^3) = 90t - 3t^2 \] Bước 2: Tìm giá trị cực đại của \( f'(t) \): Để tìm giá trị cực đại của \( f'(t) \), chúng ta cần tìm các điểm cực trị của \( f'(t) \) bằng cách giải phương trình \( f''(t) = 0 \). Tính đạo hàm của \( f'(t) \): \[ f'(t) = 90t - 3t^2 \] \[ f''(t) = \frac{d}{dt}(90t - 3t^2) = 90 - 6t \] Giải phương trình \( f''(t) = 0 \): \[ 90 - 6t = 0 \] \[ 6t = 90 \] \[ t = 15 \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của điểm \( t = 15 \): - Ta kiểm tra dấu của \( f''(t) \) ở hai bên điểm \( t = 15 \): - Khi \( t < 15 \), \( f''(t) > 0 \) (hàm \( f'(t) \) là hàm lõm). - Khi \( t > 15 \), \( f''(t) < 0 \) (hàm \( f'(t) \) là hàm lồi). Do đó, \( t = 15 \) là điểm cực đại của \( f'(t) \). Bước 4: Kết luận: Ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất là ngày thứ 15. Đáp số: Ngày thứ 15. Câu 2. Điều kiện để ba điểm \(A\), \(B\), và \(M\) thẳng hàng là vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và vectơ \(\overrightarrow{AM}\) phải cùng phương. Ta có: - \(\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1, 1 - 0, -2 - 3) = (-2, 1, -5)\) - \(\overrightarrow{AM} = M - A = (x_0 - 1, y_0 - 0, z_0 - 3) = (x_0 - 1, y_0, z_0 - 3)\) Để hai vectơ này cùng phương, ta có: \[ \frac{x_0 - 1}{-2} = \frac{y_0}{1} = \frac{z_0 - 3}{-5} = k \] Từ đó ta có: \[ x_0 - 1 = -2k \] \[ y_0 = k \] \[ z_0 - 3 = -5k \] Giải các phương trình trên ta được: \[ x_0 = -2k + 1 \] \[ y_0 = k \] \[ z_0 = -5k + 3 \] Vì \(M\) thuộc mặt phẳng \(Oxy\), nên \(z_0 = 0\): \[ -5k + 3 = 0 \] \[ k = \frac{3}{5} \] Thay \(k = \frac{3}{5}\) vào các phương trình trên ta được: \[ x_0 = -2 \left(\frac{3}{5}\right) + 1 = -\frac{6}{5} + 1 = -\frac{1}{5} \] \[ y_0 = \frac{3}{5} \] \[ z_0 = 0 \] Vậy: \[ x_0 + y_0 + z_0 = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5} + 0 = \frac{2}{5} \] Đáp số: \(x_0 + y_0 + z_0 = \frac{2}{5}\) Câu 3. Để tính độ lệch chuẩn của cây trồng tại địa điểm A và B, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mỗi nhóm dữ liệu. 2. Tính phương sai của mỗi nhóm dữ liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn của mỗi nhóm dữ liệu. Bước 1: Tính trung bình cộng Địa điểm A: - Số lượng cây: \(25 + 38 + 20 + 10 + 7 = 100\) - Trung bình cộng: \[ \bar{x}_A = \frac{(25 \times 31) + (38 \times 33) + (20 \times 35) + (10 \times 37) + (7 \times 39)}{100} = \frac{(775) + (1254) + (700) + (370) + (273)}{100} = \frac{3372}{100} = 33.72 \text{ cm} \] Địa điểm B: - Số lượng cây: \(22 + 27 + 19 + 18 + 11 = 97\) - Trung bình cộng: \[ \bar{x}_B = \frac{(22 \times 31) + (27 \times 33) + (19 \times 35) + (18 \times 37) + (11 \times 39)}{97} = \frac{(682) + (891) + (665) + (666) + (429)}{97} = \frac{3333}{97} \approx 34.36 \text{ cm} \] Bước 2: Tính phương sai Địa điểm A: \[ s^2_A = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x}_A)^2}{n} = \frac{(25 \times (31 - 33.72)^2) + (38 \times (33 - 33.72)^2) + (20 \times (35 - 33.72)^2) + (10 \times (37 - 33.72)^2) + (7 \times (39 - 33.72)^2)}{100} = \frac{(25 \times 7.3984) + (38 \times 0.5184) + (20 \times 1.5876) + (10 \times 10.8244) + (7 \times 27.8784)}{100} = \frac{184.96 + 19.70 + 31.75 + 108.24 + 195.15}{100} = \frac{539.8}{100} = 5.398 \] Địa điểm B: \[ s^2_B = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x}_B)^2}{n} = \frac{(22 \times (31 - 34.36)^2) + (27 \times (33 - 34.36)^2) + (19 \times (35 - 34.36)^2) + (18 \times (37 - 34.36)^2) + (11 \times (39 - 34.36)^2)}{97} = \frac{(22 \times 11.3956) + (27 \times 1.8496) + (19 \times 0.4096) + (18 \times 6.7696) + (11 \times 21.3456)}{97} = \frac{250.70 + 49.94 + 7.78 + 121.85 + 234.80}{97} = \frac{664.07}{97} \approx 6.846 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn của địa điểm A: \[ s_A = \sqrt{s^2_A} = \sqrt{5.398} \approx 2.32 \text{ cm} \] Độ lệch chuẩn của địa điểm B: \[ s_B = \sqrt{s^2_B} = \sqrt{6.846} \approx 2.62 \text{ cm} \] Kết luận: Độ lệch chuẩn của cây trồng tại địa điểm A là 2.32 cm và tại địa điểm B là 2.62 cm. Do đó, cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn. Đáp số: Cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn. Câu 4. Để tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn hình thang cân ABCD, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính diện tích của hình thang cân và tối ưu hóa nó. Trước hết, ta nhận thấy rằng ba tấm lưới thép B40 mỗi tấm dài 12m sẽ tạo thành ba cạnh của hình thang cân ABCD. Ta gọi độ dài đáy trên là AD = BC = x và độ dài đáy dưới là AB = y. Vì đây là hình thang cân, nên hai đáy trên và dưới song song với nhau và hai cạnh bên bằng nhau. Ta có: - Độ dài mỗi cạnh bên là 12m. - Độ dài đáy trên là x. - Độ dài đáy dưới là y. Diện tích S của hình thang cân ABCD được tính theo công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times (x + y) \times h \] Trong đó, h là chiều cao của hình thang. Để tối ưu hóa diện tích, ta cần tìm giá trị của x và y sao cho diện tích lớn nhất. Ta biết rằng tổng độ dài của ba cạnh bên là: \[ 2x + y = 36 \] Chiều cao h của hình thang cân có thể được tính bằng cách sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao, nửa phần chênh lệch giữa hai đáy và cạnh bên: \[ h = \sqrt{12^2 - \left(\frac{y - x}{2}\right)^2} \] Thay vào công thức diện tích: \[ S = \frac{1}{2} \times (x + y) \times \sqrt{12^2 - \left(\frac{y - x}{2}\right)^2} \] Để tối ưu hóa diện tích, ta cần tìm giá trị của x và y sao cho diện tích lớn nhất. Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực đại của hàm số diện tích này. Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta có thể dựa vào trực giác rằng diện tích lớn nhất sẽ xảy ra khi hình thang cân trở thành hình chữ nhật (tức là x = y). Điều này có nghĩa là: \[ 2x + x = 36 \] \[ 3x = 36 \] \[ x = 12 \] \[ y = 12 \] Khi đó, hình thang cân trở thành hình vuông với cạnh 12m. Diện tích của hình vuông này là: \[ S = 12 \times 12 = 144 \text{ m}^2 \] Do đó, diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 144 m². Ta cần tính 10a: \[ 10a = 10 \times 144 = 1440 \] Đáp số: 1440 Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng liên quan và đặt ẩn số. 2. Lập phương trình hoặc biểu thức dựa trên các điều kiện đã cho. 3. Tìm giá trị tối ưu của các đại lượng. 4. Tính toán chi phí. Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan và đặt ẩn số Gọi chiều dài và chiều rộng của đáy hộp là \( l \) và \( w \) (đơn vị: dm). Chiều cao của hộp là \( h \) (đơn vị: dm). Bước 2: Lập phương trình hoặc biểu thức dựa trên các điều kiện đã cho - Điều kiện thể tích: \( l \times w \times h = 16 \) - Điều kiện chu vi đáy: \( 2(l + w) = 10 \) Bước 3: Tìm giá trị tối ưu của các đại lượng Từ điều kiện chu vi đáy, ta có: \[ l + w = 5 \] Giải phương trình này, ta có: \[ w = 5 - l \] Thay vào điều kiện thể tích: \[ l \times (5 - l) \times h = 16 \] \[ h = \frac{16}{l(5 - l)} \] Bước 4: Tính toán chi phí Diện tích đáy: \[ S_{\text{đáy}} = l \times w = l \times (5 - l) \] Diện tích các mặt bên: \[ S_{\text{mặt bên}} = 2lh + 2wh = 2l \left(\frac{16}{l(5-l)}\right) + 2(5-l) \left(\frac{16}{l(5-l)}\right) = \frac{32}{5-l} + \frac{32}{l} \] Chi phí để làm đáy: \[ C_{\text{đáy}} = 4700 \times S_{\text{đáy}} = 4700 \times l(5 - l) \] Chi phí để làm các mặt bên: \[ C_{\text{mặt bên}} = 8500 \times S_{\text{mặt bên}} = 8500 \left( \frac{32}{5-l} + \frac{32}{l} \right) \] Tổng chi phí: \[ C_{\text{tổng}} = C_{\text{đáy}} + C_{\text{mặt bên}} = 4700 \times l(5 - l) + 8500 \left( \frac{32}{5-l} + \frac{32}{l} \right) \] Để tìm giá trị tối thiểu của tổng chi phí, ta có thể sử dụng đạo hàm hoặc phương pháp thử nghiệm các giá trị \( l \) trong khoảng từ 0 đến 5. Sau khi tính toán, ta thấy rằng giá trị tối ưu của \( l \) là 2,5 dm (vì \( l = w = 2,5 \) đảm bảo điều kiện \( l + w = 5 \)). Khi đó: \[ h = \frac{16}{2,5 \times 2,5} = \frac{16}{6,25} = 2,56 \, \text{dm} \] Diện tích đáy: \[ S_{\text{đáy}} = 2,5 \times 2,5 = 6,25 \, \text{dm}^2 \] Diện tích các mặt bên: \[ S_{\text{mặt bên}} = 2 \times 2,5 \times 2,56 + 2 \times 2,5 \times 2,56 = 25,6 \, \text{dm}^2 \] Chi phí: \[ C_{\text{đáy}} = 4700 \times 6,25 = 29375 \, \text{đồng} \] \[ C_{\text{mặt bên}} = 8500 \times 25,6 = 217600 \, \text{đồng} \] \[ C_{\text{tổng}} = 29375 + 217600 = 246975 \, \text{đồng} \] Vậy, An cần dùng số tiền tối thiểu là 246975 đồng để thiết kế chiếc hộp này.