giải giúp em với ạ

Câu 6: Độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu là căn bậc hai của phương sai của mẫu số liệu đó. Phương sai của mẫu số liệu đã cho là 16. Do đó, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó là: \[ \sqrt{16} = 4 \] Vậy đáp án đúng là: A. 4. Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm \(M_1\) và \(M_2\). Độ lệch chuẩn \(s\) của một mẫu số liệu được tính theo công thức: \[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}} \] Trong đó: - \(f_i\) là tần số của nhóm thứ \(i\), - \(x_i\) là trung điểm của nhóm thứ \(i\), - \(\bar{x}\) là trung bình cộng của mẫu số liệu, - \(N\) là tổng số lượng dữ liệu trong mẫu. Bước 1: Tính trung bình cộng \(\bar{x}\) của mỗi mẫu số liệu Mẫu số liệu \(M_1\): - Nhóm [8;10), trung điểm \(x_1 = 9\) - Nhóm [10;12), trung điểm \(x_2 = 11\) - Nhóm [12;14), trung điểm \(x_3 = 13\) - Nhóm [14;16), trung điểm \(x_4 = 15\) - Nhóm [16;18), trung điểm \(x_5 = 17\) Tần số tương ứng: 3, 4, 8, 6, 4 Tính trung bình cộng: \[ \bar{x}_1 = \frac{(9 \times 3) + (11 \times 4) + (13 \times 8) + (15 \times 6) + (17 \times 4)}{3 + 4 + 8 + 6 + 4} \] \[ \bar{x}_1 = \frac{27 + 44 + 104 + 90 + 68}{25} \] \[ \bar{x}_1 = \frac{333}{25} = 13.32 \] Mẫu số liệu \(M_2\): - Nhóm [8;10), trung điểm \(x_1 = 9\) - Nhóm [10;12), trung điểm \(x_2 = 11\) - Nhóm [12;14), trung điểm \(x_3 = 13\) - Nhóm [14;16), trung điểm \(x_4 = 15\) - Nhóm [16;18), trung điểm \(x_5 = 17\) Tần số tương ứng: 6, 8, 16, 12, 8 Tính trung bình cộng: \[ \bar{x}_2 = \frac{(9 \times 6) + (11 \times 8) + (13 \times 16) + (15 \times 12) + (17 \times 8)}{6 + 8 + 16 + 12 + 8} \] \[ \bar{x}_2 = \frac{54 + 88 + 208 + 180 + 136}{50} \] \[ \bar{x}_2 = \frac{666}{50} = 13.32 \] Bước 2: Tính độ lệch chuẩn \(s_1\) và \(s_2\) Mẫu số liệu \(M_1\): \[ s_1 = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x}_1)^2}{25}} \] Tính từng phần: \[ (9 - 13.32)^2 = (-4.32)^2 = 18.6624 \] \[ (11 - 13.32)^2 = (-2.32)^2 = 5.3824 \] \[ (13 - 13.32)^2 = (-0.32)^2 = 0.1024 \] \[ (15 - 13.32)^2 = (1.68)^2 = 2.8224 \] \[ (17 - 13.32)^2 = (3.68)^2 = 13.5424 \] Tổng: \[ \sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x}_1)^2 = 3 \times 18.6624 + 4 \times 5.3824 + 8 \times 0.1024 + 6 \times 2.8224 + 4 \times 13.5424 \] \[ = 55.9872 + 21.5296 + 0.8192 + 16.9344 + 54.1696 \] \[ = 149.43 \] Do đó: \[ s_1 = \sqrt{\frac{149.43}{25}} = \sqrt{5.9772} \approx 2.44 \] Mẫu số liệu \(M_2\): \[ s_2 = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x}_2)^2}{50}} \] Tính từng phần: \[ (9 - 13.32)^2 = (-4.32)^2 = 18.6624 \] \[ (11 - 13.32)^2 = (-2.32)^2 = 5.3824 \] \[ (13 - 13.32)^2 = (-0.32)^2 = 0.1024 \] \[ (15 - 13.32)^2 = (1.68)^2 = 2.8224 \] \[ (17 - 13.32)^2 = (3.68)^2 = 13.5424 \] Tổng: \[ \sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x}_2)^2 = 6 \times 18.6624 + 8 \times 5.3824 + 16 \times 0.1024 + 12 \times 2.8224 + 8 \times 13.5424 \] \[ = 111.9744 + 43.0592 + 1.6384 + 33.8688 + 108.3392 \] \[ = 298.88 \] Do đó: \[ s_2 = \sqrt{\frac{298.88}{50}} = \sqrt{5.9776} \approx 2.44 \] Kết luận: \[ s_1 = s_2 \] Vậy phát biểu đúng là: A. \(s_1 = s_2\). Câu 8: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(t) \) trên đoạn \([0;9]\), chúng ta sẽ dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Bảng biến thiên cho thấy: - Trên đoạn \([0; 2)\), hàm số \( f(t) \) giảm từ 3 xuống \(-\frac{37}{4}\). - Tại điểm \( t = 2 \), giá trị của hàm số là \(-\frac{37}{4}\). - Trên đoạn \((2; 9]\), hàm số \( f(t) \) tăng từ \(-\frac{37}{4}\) lên 21. Từ đó, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(t) \) trên đoạn \([0;9]\) là \(-\frac{37}{4}\), đạt được tại \( t = 2 \). Vậy đáp án đúng là: C. \(-\frac{37}{4}\). Câu 9: Để xác định đồ thị hàm số nào có dạng đường cong như trong hình vẽ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. A. \( y = -x^3 + 3x + 1 \) B. \( y = \frac{x+3}{x+1} \) C. \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \) D. \( y = x^3 - 3x + 2 \) Trước tiên, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số để loại trừ những hàm số không phù hợp. 1. Hàm số \( y = -x^3 + 3x + 1 \): - Đây là hàm bậc ba với hệ số cao nhất âm, do đó đồ thị của nó sẽ có dạng cong xuống ở hai đầu. - Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm: - \( y(0) = 1 \) - \( y(1) = -1 + 3 + 1 = 3 \) - \( y(-1) = 1 - 3 + 1 = -1 \) - Đồ thị của hàm này có dạng cong xuống ở hai đầu và có điểm cực đại và cực tiểu. 2. Hàm số \( y = \frac{x+3}{x+1} \): - Đây là hàm phân thức, có đường thẳng tiệm cận đứng là \( x = -1 \) và tiệm cận ngang là \( y = 1 \). - Đồ thị của hàm này không có dạng đường cong như trong hình vẽ. 3. Hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \): - Đây là hàm bậc ba với hệ số cao nhất dương, do đó đồ thị của nó sẽ có dạng cong lên ở hai đầu. - Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm: - \( y(0) = 1 \) - \( y(1) = 1 - 3 + 1 = -1 \) - \( y(2) = 8 - 12 + 1 = -3 \) - Đồ thị của hàm này có dạng cong lên ở hai đầu và có điểm cực đại và cực tiểu. 4. Hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \): - Đây là hàm bậc ba với hệ số cao nhất dương, do đó đồ thị của nó sẽ có dạng cong lên ở hai đầu. - Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm: - \( y(0) = 2 \) - \( y(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \) - \( y(-1) = -1 + 3 + 2 = 4 \) - Đồ thị của hàm này có dạng cong lên ở hai đầu và có điểm cực đại và cực tiểu. So sánh các đồ thị trên, chúng ta thấy rằng đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) có dạng đường cong giống như trong hình vẽ. Vậy đáp án đúng là: D. \( y = x^3 - 3x + 2 \). Câu 10: Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được định nghĩa như sau: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta) \] Trong đó: - $|\overrightarrow{u}|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$. - $|\overrightarrow{v}|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{v}$. - $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$. Do đó, đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ Lập luận từng bước: 1. Xác định công thức của tích vô hướng. 2. Áp dụng công thức vào các lựa chọn đã cho. 3. Chọn đáp án đúng dựa trên công thức đã biết. Câu 11: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm A từ tọa độ của điểm B. Tọa độ của điểm A là $(1, 1, -2)$ và tọa độ của điểm B là $(2, 2, 1)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \] Thay tọa độ của A và B vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 2 - 1, 1 - (-2)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1, 1, 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1, 1, 3)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $(1, 1, 3)$ Câu 12: Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính trọng tâm của tam giác trong không gian. Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ được tính theo công thức: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Trong đó, \( A(x_A, y_A, z_A) \), \( B(x_B, y_B, z_B) \), và \( C(x_C, y_C, z_C) \). Áp dụng vào bài toán: - Tọa độ của điểm \( A \) là \( (1, -2, 3) \) - Tọa độ của điểm \( B \) là \( (-1, 2, 5) \) - Tọa độ của điểm \( C \) là \( (0, 0, 1) \) Ta tính từng thành phần tọa độ của trọng tâm \( G \): 1. Tính tọa độ \( x \): \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + (-1) + 0}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] 2. Tính tọa độ \( y \): \[ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{-2 + 2 + 0}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] 3. Tính tọa độ \( z \): \[ z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{3 + 5 + 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] Vậy tọa độ của trọng tâm \( G \) là: \[ G(0, 0, 3) \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( G(0, 0, 3) \) Câu 1: Để giải quyết các yêu cầu trong đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ - Vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, -4 - 0, 5 + 3) = (-2, -4, 8) \] - Vectơ $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - 2, 2 - 0, 0 + 3) = (-3, 2, 3) \] b) Tính $\cos \widehat{BAC}$ - Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2)(-3) + (-4)(2) + (8)(3) = 6 - 8 + 24 = 22 \] - Độ dài của $\overrightarrow{AB}$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 16 + 64} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \] - Độ dài của $\overrightarrow{AC}$: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22} \] - $\cos \widehat{BAC}$: \[ \cos \widehat{BAC} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{22}{2\sqrt{21} \cdot \sqrt{22}} = \frac{22}{2\sqrt{462}} = \frac{11}{\sqrt{462}} \] e) Tính góc $\widehat{BAC}$ - Góc $\widehat{BAC}$: \[ \widehat{BAC} = \cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{462}}\right) \approx 60^\circ \] d) Tính diện tích của tam giác ABC - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \] - Tính tích có hướng $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -4 & 8 \\ -3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(3) - (8)(2)) - \mathbf{j}((-2)(3) - (8)(-3)) + \mathbf{k}((-2)(2) - (-4)(-3)) \] \[ = \mathbf{i}(-12 - 16) - \mathbf{j}(-6 + 24) + \mathbf{k}(-4 - 12) = -28\mathbf{i} - 18\mathbf{j} - 16\mathbf{k} \] - Độ dài của $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-28)^2 + (-18)^2 + (-16)^2} = \sqrt{784 + 324 + 256} = \sqrt{1364} \approx 36.93 \] - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 36.93 \approx 18.465 \approx 18.5 \] Đáp số: - Góc $\widehat{BAC}$: $60^\circ$ - Diện tích tam giác ABC: $18.5$