Cách giải câu 4

Để tính $\lim u_n$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công thức tổng quát của dãy số $u_n$: \[ u_n = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}. \] Bước 2: Ta nhận thấy rằng mỗi phân số trong dãy có dạng $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$. Ta sẽ biến đổi từng phân số này thành dạng dễ dàng hơn để tính tổng: \[ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right). \] Bước 3: Áp dụng công thức trên cho từng phân số trong dãy: \[ u_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \ldots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right). \] Bước 4: Nhóm các phân số lại để thấy sự huỷ bỏ: \[ u_n = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right). \] Bước 5: Các phân số giữa sẽ huỷ nhau, chỉ còn lại: \[ u_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+1} \right). \] Bước 6: Tính giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+1} \right). \] Khi $n$ tiến đến vô cùng, $\frac{1}{2n+1}$ tiến đến 0, do đó: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. \] Vậy, $\lim u_n = \frac{1}{6}$.