Chọn đáp án đúng sai và giải thích

Câu 1: a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $\mathbb R\setminus\{-1\}$ vì mẫu số $x + 1$ không được phép bằng 0. b) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $f(x)$ là $x = -1$. Điều này xảy ra khi $x$ tiến đến $-1$, mẫu số $x + 1$ tiến đến 0, làm cho giá trị của hàm số tiến đến vô cùng. c) Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số. Ta có: \[ f(x) = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} \] Ta thử tính $f(-2 - x)$: \[ f(-2 - x) = \frac{(-2 - x)^2 - 2(-2 - x) + 6}{-2 - x + 1} = \frac{(4 + 4x + x^2) + 4 + 2x + 6}{-1 - x} = \frac{x^2 + 6x + 14}{-1 - x} \] Bây giờ, ta tính $f(x) + f(-2 - x)$: \[ f(x) + f(-2 - x) = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + \frac{x^2 + 6x + 14}{-1 - x} \] \[ = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} - \frac{x^2 + 6x + 14}{x + 1} \] \[ = \frac{x^2 - 2x + 6 - (x^2 + 6x + 14)}{x + 1} \] \[ = \frac{x^2 - 2x + 6 - x^2 - 6x - 14}{x + 1} \] \[ = \frac{-8x - 8}{x + 1} \] \[ = \frac{-8(x + 1)}{x + 1} \] \[ = -8 \] Do đó, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(-1; 4)$. d) Để tìm các điểm có tọa độ nguyên trên đồ thị hàm số, ta cần tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho $f(x)$ cũng là số nguyên. Ta có: \[ y = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} \] Ta thử các giá trị nguyên của $x$: - Khi $x = 0$: $y = \frac{0^2 - 2 \cdot 0 + 6}{0 + 1} = 6$ - Khi $x = 1$: $y = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 + 6}{1 + 1} = \frac{1 - 2 + 6}{2} = \frac{5}{2}$ (không là số nguyên) - Khi $x = 2$: $y = \frac{2^2 - 2 \cdot 2 + 6}{2 + 1} = \frac{4 - 4 + 6}{3} = 2$ - Khi $x = -2$: $y = \frac{(-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 6}{-2 + 1} = \frac{4 + 4 + 6}{-1} = -14$ - Khi $x = -3$: $y = \frac{(-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 6}{-3 + 1} = \frac{9 + 6 + 6}{-2} = -10.5$ (không là số nguyên) - Khi $x = -4$: $y = \frac{(-4)^2 - 2 \cdot (-4) + 6}{-4 + 1} = \frac{16 + 8 + 6}{-3} = -10$ Từ các giá trị trên, ta thấy có 6 điểm có tọa độ nguyên trên đồ thị hàm số: $(0, 6)$, $(2, 2)$, $(-2, -14)$, $(-4, -10)$, $(-3, -10.5)$ (loại), $(-1, 4)$ (loại). Vậy, trên đồ thị (C) tồn tại đúng 6 điểm có tọa độ nguyên.