Ưgnqfbqfbqd ãvqdv

Câu 11: Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số ngày: Tổng số ngày = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18 ngày. 2. Xác định vị trí của tử phân vị: Tử phân vị là giá trị chia dãy số liệu thành 4 phần bằng nhau. Vì vậy, ta cần tìm giá trị ở vị trí $\frac{18}{4} = 4,5$. 3. Xác định khoảng chứa tử phân vị: - Nhóm [20; 25) có 6 ngày. - Nhóm [25; 30) có 6 ngày. - Nhóm [30; 35) có 4 ngày. - Nhóm [35; 40) có 1 ngày. - Nhóm [40; 45) có 1 ngày. Vị trí 4,5 nằm trong khoảng từ 1 đến 6, do đó tử phân vị nằm trong nhóm [25; 30). 4. Áp dụng công thức tính tử phân vị: Công thức tính tử phân vị trong nhóm là: \[ Q_1 = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F_{k-1}}{f_k} \right) \times c \] Trong đó: - \(L\) là giới hạn dưới của nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 25). - \(n\) là tổng số ngày (18). - \(F_{k-1}\) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 6). - \(f_k\) là tần số của nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 6). - \(c\) là khoảng cách của nhóm (ở đây là 5). Thay các giá trị vào công thức: \[ Q_1 = 25 + \left( \frac{4,5 - 6}{6} \right) \times 5 \] Tính toán: \[ Q_1 = 25 + \left( \frac{-1,5}{6} \right) \times 5 \] \[ Q_1 = 25 + (-0,25) \times 5 \] \[ Q_1 = 25 - 1,25 \] \[ Q_1 = 23,75 \] Vậy khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 23,75 phút. Đáp án đúng là A. 23,75. Câu 12: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trung tâm của mỗi khoảng: \[ \begin{aligned} &\text{Khoảng } [8; 10): \quad x_1 = \frac{8 + 10}{2} = 9 \\ &\text{Khoảng } [10; 12): \quad x_2 = \frac{10 + 12}{2} = 11 \\ &\text{Khoảng } [12; 14): \quad x_3 = \frac{12 + 14}{2} = 13 \\ &\text{Khoảng } [14; 16): \quad x_4 = \frac{14 + 16}{2} = 15 \\ &\text{Khoảng } [16; 18): \quad x_5 = \frac{16 + 18}{2} = 17 \\ \end{aligned} \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{5} f_i} \] Trong đó, \(f_i\) là số lần xuất hiện của mỗi khoảng. \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{5} f_i x_i = 4 \times 9 + 6 \times 11 + 8 \times 13 + 4 \times 15 + 3 \times 17 \\ &= 36 + 66 + 104 + 60 + 51 = 317 \\ &\sum_{i=1}^{5} f_i = 4 + 6 + 8 + 4 + 3 = 25 \\ &\bar{x} = \frac{317}{25} = 12.68 \\ \end{aligned} \] 2. Tính phương sai của mẫu số liệu: - Tính bình phương của độ lệch giữa mỗi giá trị trung tâm và trung bình cộng: \[ \begin{aligned} &\left(9 - 12.68\right)^2 = (-3.68)^2 = 13.5424 \\ &\left(11 - 12.68\right)^2 = (-1.68)^2 = 2.8224 \\ &\left(13 - 12.68\right)^2 = (0.32)^2 = 0.1024 \\ &\left(15 - 12.68\right)^2 = (2.32)^2 = 5.3824 \\ &\left(17 - 12.68\right)^2 = (4.32)^2 = 18.6624 \\ \end{aligned} \] - Tính tổng của các bình phương này nhân với tần số tương ứng: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 4 \times 13.5424 + 6 \times 2.8224 + 8 \times 0.1024 + 4 \times 5.3824 + 3 \times 18.6624 \\ &= 54.1696 + 16.9344 + 0.8192 + 21.5296 + 55.9872 = 149.43 \\ \end{aligned} \] - Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{5} f_i - 1} = \frac{149.43}{24} = 6.22625 \] 3. Tính độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{6.22625} \approx 2.495 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần nhất với giá trị 2,5. Đáp án đúng là: D. 2,5. Câu 1: a) Hàm số đồng biến trên (0,1): - Trên đoạn (0,1), đồ thị hàm số y = f(x) có xu hướng tăng dần từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - Đáp án đúng. b) Hàm số có 2 điểm cực trị: - Ta thấy trên đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm uốn, tương ứng với hai điểm cực đại và cực tiểu. Cụ thể, điểm cực đại nằm ở x = 1 và điểm cực tiểu nằm ở x = 2. - Đáp án đúng. c) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là x = 1: - Trên đồ thị hàm số y = f(x), ta thấy tại x = 1, đồ thị đạt giá trị cực đại. Đây là điểm cực đại của hàm số. - Đáp án đúng. d) Số nghiệm của phương trình f(x) = 1: - Để tìm số nghiệm của phương trình f(x) = 1, ta cần tìm số giao điểm giữa đường thẳng y = 1 và đồ thị hàm số y = f(x). - Qua việc quan sát đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại ba điểm khác nhau. - Do đó, phương trình f(x) = 1 có 3 nghiệm. - Đáp án đúng. Kết luận: Tất cả các phát biểu đều đúng. Câu 2: a) Đặt điều kiện xác định: $-x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Mệnh đề này sai. b) Ta có $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 6}{-x - 1}$. Áp dụng công thức tính đạo hàm của thương hai hàm số ta có: $f'(x) = \frac{(x^2 - 2x + 6)'(-x - 1) - (x^2 - 2x + 6)(-x - 1)'}{(-x - 1)^2}$ $= \frac{(2x - 2)(-x - 1) - (x^2 - 2x + 6)(-1)}{(-x - 1)^2}$ $= \frac{-2x^2 - 2x + 2x + 2 + x^2 - 2x + 6}{(-x - 1)^2}$ $= \frac{-x^2 - 2x + 8}{(-x - 1)^2}$ Mệnh đề này sai vì đạo hàm của $f(x)$ không phải là $\frac{x' + 2x - 8}{(x + 1)'}$. c) Để tìm giá trị cực đại của hàm số, ta cần tìm các điểm cực trị của nó. Ta đã tính được đạo hàm của hàm số là: $f'(x) = \frac{-x^2 - 2x + 8}{(-x - 1)^2}$ Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $f'(x) = 0$: $\frac{-x^2 - 2x + 8}{(-x - 1)^2} = 0$ $-x^2 - 2x + 8 = 0$ $x^2 + 2x - 8 = 0$ $(x + 4)(x - 2) = 0$ $x = -4$ hoặc $x = 2$ Ta kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng $( -\infty, -4 )$, $(-4, -1)$, $(-1, 2)$ và $(2, +\infty)$ để xác định các điểm cực trị: - Khi $x < -4$: $f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến) - Khi $-4 < x < -1$: $f'(x) < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $-1 < x < 2$: $f'(x) < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $x > 2$: $f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến) Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = -4$ và cực tiểu tại $x = 2$. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này: $f(-4) = \frac{(-4)^2 - 2(-4) + 6}{-(-4) - 1} = \frac{16 + 8 + 6}{4 - 1} = \frac{30}{3} = 10$ $f(2) = \frac{2^2 - 2(2) + 6}{-(2) - 1} = \frac{4 - 4 + 6}{-2 - 1} = \frac{6}{-3} = -2$ Vậy giá trị cực đại của hàm số là 10, đạt được khi $x = -4$. Mệnh đề này sai. d) Xét hàm số $y = f(x^2 - 2)$. Ta thấy rằng $x^2 - 2$ là một hàm số bậc hai, có đồ thị là một parabol mở rộng lên trên và có đỉnh tại $x = 0$. Parabol này cắt trục hoành tại hai điểm $x = \pm \sqrt{2}$. Khi thay vào hàm số $f(x)$, ta nhận thấy rằng $x^2 - 2$ sẽ nhận giá trị âm khi $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ và giá trị dương khi $x < -\sqrt{2}$ hoặc $x > \sqrt{2}$. Do đó, hàm số $y = f(x^2 - 2)$ sẽ có ba điểm cực trị tương ứng với ba điểm cực trị của hàm số $f(x)$ khi thay vào các giá trị của $x^2 - 2$. Mệnh đề này đúng. Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.