Câu 11:
Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số ngày:
Tổng số ngày = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18 ngày.
2. Xác định vị trí của tử phân vị:
Tử phân vị là giá trị chia dãy số liệu thành 4 phần bằng nhau. Vì vậy, ta cần tìm giá trị ở vị trí .
3. Xác định khoảng chứa tử phân vị:
- Nhóm [20; 25) có 6 ngày.
- Nhóm [25; 30) có 6 ngày.
- Nhóm [30; 35) có 4 ngày.
- Nhóm [35; 40) có 1 ngày.
- Nhóm [40; 45) có 1 ngày.
Vị trí 4,5 nằm trong khoảng từ 1 đến 6, do đó tử phân vị nằm trong nhóm [25; 30).
4. Áp dụng công thức tính tử phân vị:
Công thức tính tử phân vị trong nhóm là:
Trong đó:
- là giới hạn dưới của nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 25).
- là tổng số ngày (18).
- là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 6).
- là tần số của nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 6).
- là khoảng cách của nhóm (ở đây là 5).
Thay các giá trị vào công thức:
Tính toán:
Vậy khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 23,75 phút. Đáp án đúng là A. 23,75.
Câu 12:
Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu:
- Tính trung tâm của mỗi khoảng:
- Tính trung bình cộng:
Trong đó, là số lần xuất hiện của mỗi khoảng.
2. Tính phương sai của mẫu số liệu:
- Tính bình phương của độ lệch giữa mỗi giá trị trung tâm và trung bình cộng:
- Tính tổng của các bình phương này nhân với tần số tương ứng:
- Tính phương sai:
3. Tính độ lệch chuẩn:
Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần nhất với giá trị 2,5.
Đáp án đúng là: D. 2,5.
Câu 1:
a) Hàm số đồng biến trên (0,1):
- Trên đoạn (0,1), đồ thị hàm số y = f(x) có xu hướng tăng dần từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này.
- Đáp án đúng.
b) Hàm số có 2 điểm cực trị:
- Ta thấy trên đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm uốn, tương ứng với hai điểm cực đại và cực tiểu. Cụ thể, điểm cực đại nằm ở x = 1 và điểm cực tiểu nằm ở x = 2.
- Đáp án đúng.
c) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là x = 1:
- Trên đồ thị hàm số y = f(x), ta thấy tại x = 1, đồ thị đạt giá trị cực đại. Đây là điểm cực đại của hàm số.
- Đáp án đúng.
d) Số nghiệm của phương trình f(x) = 1:
- Để tìm số nghiệm của phương trình f(x) = 1, ta cần tìm số giao điểm giữa đường thẳng y = 1 và đồ thị hàm số y = f(x).
- Qua việc quan sát đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại ba điểm khác nhau.
- Do đó, phương trình f(x) = 1 có 3 nghiệm.
- Đáp án đúng.
Kết luận: Tất cả các phát biểu đều đúng.
Câu 2:
a) Đặt điều kiện xác định: . Vậy tập xác định của hàm số là . Mệnh đề này sai.
b) Ta có . Áp dụng công thức tính đạo hàm của thương hai hàm số ta có:
Mệnh đề này sai vì đạo hàm của không phải là .
c) Để tìm giá trị cực đại của hàm số, ta cần tìm các điểm cực trị của nó. Ta đã tính được đạo hàm của hàm số là:
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình :
hoặc
Ta kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng , , và để xác định các điểm cực trị:
- Khi : (hàm số đồng biến)
- Khi : (hàm số nghịch biến)
- Khi : (hàm số nghịch biến)
- Khi : (hàm số đồng biến)
Vậy hàm số đạt cực đại tại và cực tiểu tại . Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này:
Vậy giá trị cực đại của hàm số là 10, đạt được khi . Mệnh đề này sai.
d) Xét hàm số . Ta thấy rằng là một hàm số bậc hai, có đồ thị là một parabol mở rộng lên trên và có đỉnh tại . Parabol này cắt trục hoành tại hai điểm .
Khi thay vào hàm số , ta nhận thấy rằng sẽ nhận giá trị âm khi và giá trị dương khi hoặc .
Do đó, hàm số sẽ có ba điểm cực trị tương ứng với ba điểm cực trị của hàm số khi thay vào các giá trị của . Mệnh đề này đúng.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.