giúp mik với ạ

Câu 1. Để xác định hàm số của đồ thị, ta sẽ kiểm tra từng đáp án bằng cách thay các giá trị đặc biệt vào các hàm số để so sánh với đồ thị đã cho. A. \( y = x^3 - 3x^2 \) B. \( y = x^3 - 3x + 1 \) C. \( y = x^3 - 3x^2 - 1 \) D. \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) Ta sẽ kiểm tra điểm \( x = 0 \): - Với \( x = 0 \): - A: \( y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0 \) - B: \( y = 0^3 - 3 \cdot 0 + 1 = 1 \) - C: \( y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 1 = -1 \) - D: \( y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 \) Nhìn vào đồ thị, ta thấy khi \( x = 0 \), giá trị của \( y \) là 2. Do đó, đáp án đúng phải là D. Tiếp theo, ta kiểm tra thêm một điểm khác để chắc chắn: - Với \( x = 1 \): - D: \( y = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \) Nhìn vào đồ thị, ta thấy khi \( x = 1 \), giá trị của \( y \) là 0. Điều này cũng phù hợp với hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \). Do đó, hàm số của đồ thị là: \[ y = x^3 - 3x^2 + 2 \] Đáp án đúng là: D. \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \). Câu 2. Để xác định hàm số của đồ thị, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án một. A. $y = x^3 + 4x^2 + 1$ - Đây là hàm bậc ba, đồ thị của nó sẽ có dạng cong và có thể có điểm cực đại và cực tiểu. Tuy nhiên, đồ thị của hàm bậc ba không thể có hai điểm cực đại và cực tiểu như trong hình vẽ. B. $y = x^4 - 4x^2 + 1$ - Đây là hàm bậc bốn, đồ thị của nó có thể có hai điểm cực đại và cực tiểu. Ta thử tính đạo hàm để xác định các điểm cực trị: \[ y' = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) \] Đặt $y' = 0$, ta có: \[ 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \] Vậy hàm số có ba điểm cực trị tại $x = 0$, $x = \sqrt{2}$ và $x = -\sqrt{2}$. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ y(0) = 1, \quad y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3, \quad y(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 \] Đồ thị của hàm số này có hai điểm cực tiểu tại $(\sqrt{2}, -3)$ và $(-\sqrt{2}, -3)$ và một điểm cực đại tại $(0, 1)$. Điều này phù hợp với hình vẽ. C. $y = -x^4 + 4x^2 - 4$ - Đây cũng là hàm bậc bốn, nhưng dấu âm trước $x^4$ làm cho đồ thị lật ngược lại. Ta thử tính đạo hàm để xác định các điểm cực trị: \[ y' = -4x^3 + 8x = -4x(x^2 - 2) \] Đặt $y' = 0$, ta có: \[ -4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \] Vậy hàm số có ba điểm cực trị tại $x = 0$, $x = \sqrt{2}$ và $x = -\sqrt{2}$. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ y(0) = -4, \quad y(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 - 4 = -4 + 8 - 4 = 0, \quad y(-\sqrt{2}) = -(-\sqrt{2})^4 + 4(-\sqrt{2})^2 - 4 = -4 + 8 - 4 = 0 \] Đồ thị của hàm số này có hai điểm cực đại tại $(\sqrt{2}, 0)$ và $(-\sqrt{2}, 0)$ và một điểm cực tiểu tại $(0, -4)$. Điều này không phù hợp với hình vẽ. D. $y = -x^4 + 4x^2 - 3$ - Đây cũng là hàm bậc bốn, nhưng dấu âm trước $x^4$ làm cho đồ thị lật ngược lại. Ta thử tính đạo hàm để xác định các điểm cực trị: \[ y' = -4x^3 + 8x = -4x(x^2 - 2) \] Đặt $y' = 0$, ta có: \[ -4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \] Vậy hàm số có ba điểm cực trị tại $x = 0$, $x = \sqrt{2}$ và $x = -\sqrt{2}$. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ y(0) = -3, \quad y(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1, \quad y(-\sqrt{2}) = -(-\sqrt{2})^4 + 4(-\sqrt{2})^2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \] Đồ thị của hàm số này có hai điểm cực đại tại $(\sqrt{2}, 1)$ và $(-\sqrt{2}, 1)$ và một điểm cực tiểu tại $(0, -3)$. Điều này không phù hợp với hình vẽ. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có phương án B ($y = x^4 - 4x^2 + 1$) là phù hợp với đồ thị đã cho. Đáp án đúng là: B. $y = x^4 - 4x^2 + 1$ Câu 3. Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x + 1}{2x - 1} \), ta cần xác định giá trị của \( x \) làm mẫu số bằng 0. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ 2x - 1 \neq 0 \] \[ 2x \neq 1 \] \[ x \neq \frac{1}{2} \] Bước 2: Tìm tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là: \[ 2x - 1 = 0 \] \[ 2x = 1 \] \[ x = \frac{1}{2} \] Vậy, đồ thị hàm số \( y = \frac{3x + 1}{2x - 1} \) có tiệm cận đứng là \( x = \frac{1}{2} \). Đáp án đúng là: A. \( x = \frac{1}{2} \). Câu 4. Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{-2x + 1}{2x - 3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{-2x + 1}{2x - 3} \] 2. Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2x + 1}{x}}{\frac{2x - 3}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{3}{x}} \] 3. Tính giới hạn của các phân số trong tử và mẫu: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{-2 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{3}{x}} = \frac{-2 + 0}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1 \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{-2x + 1}{2x - 3} \) là \( y = -1 \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( y = -1 \). Câu 5. Để tìm điểm cực đại của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 - 2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 - 2) = 4x^3 - 4x \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Từ đây, ta có các nghiệm: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi \( x < -1 \), chọn \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 \] (Dấu âm) - Khi \( -1 < x < 0 \), chọn \( x = -0.5 \): \[ y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 \] (Dấu dương) - Khi \( 0 < x < 1 \), chọn \( x = 0.5 \): \[ y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 \] (Dấu âm) - Khi \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 \] (Dấu dương) Bước 4: Kết luận về các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \), đạo hàm thay đổi từ âm sang dương, do đó \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 0 \), đạo hàm thay đổi từ dương sang âm, do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \), đạo hàm thay đổi từ âm sang dương, do đó \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Vậy hàm số \( y = x^4 - 2x^2 - 2 \) đạt cực đại tại \( x = 0 \). Đáp án đúng là: A. \( x = 0 \). Câu 6. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -3$, hàm số $f(x)$ giảm. - Khi $x$ tăng từ $x = -3$ đến $x = 1$, hàm số $f(x)$ tăng. - Khi $x$ tăng từ $x = 1$ đến $x = 2$, hàm số $f(x)$ giảm. - Khi $x$ tăng từ $x = 2$ đến $+\infty$, hàm số $f(x)$ tăng. Từ đó, ta nhận thấy rằng: - Tại điểm $x = -3$, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó đây là điểm cực tiểu của hàm số. - Tại điểm $x = 1$, hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó đây là điểm cực đại của hàm số. - Tại điểm $x = 2$, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó đây là điểm cực tiểu của hàm số. Như vậy, hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm $x = -3$ và $x = 2$. Do đó, đáp án đúng là: A. $x = -3.$ B. $x = 2.$ Đáp án: A và B. Câu 7. Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta cần biết bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \). Tuy nhiên, vì bảng biến thiên không được cung cấp trong câu hỏi, tôi sẽ giả sử một ví dụ điển hình để minh họa cách lập luận từng bước. Giả sử bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \) như sau: | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( +\infty \) | |---------|---------------|----------|---------|---------|---------------| | \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | \( f(x) \) | \( -\infty \) | \( 2 \) | \( 0 \) | \( -1 \) | \( +\infty \) | Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước: 1. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \), \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm, do đó \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = -1 \) với giá trị \( f(-1) = 2 \). - Tại \( x = 1 \), \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, do đó \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = -1 \). 2. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \). - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \). 3. Xác định giới hạn khi \( x \) tiến đến vô cùng: - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). 4. Xác định các điểm đặc biệt: - Tại \( x = 0 \), \( f(x) = 0 \). Tóm lại, dựa vào bảng biến thiên, chúng ta có: - Cực đại: \( f(x) = 2 \) khi \( x = -1 \). - Cực tiểu: \( f(x) = -1 \) khi \( x = 1 \). - Đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \). - Nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \). - Giới hạn khi \( x \to -\infty \) là \( -\infty \) và khi \( x \to +\infty \) là \( +\infty \). - Điểm \( f(0) = 0 \). Đây là cách lập luận từng bước dựa vào bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \).