giúp e câu này với ạ e cảm ơn nhidu

Câu 4: Để tìm độ dài đường cao \( AH \) của tam giác \( ABC \) với \( H \in BC \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 2-2, 1-3) = (2, 0, -2) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2-1, -1-2, 5-3) = (1, -3, 2) \] 2. Tìm diện tích tam giác \( ABC \): Diện tích tam giác \( ABC \) được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| \] Tính tích vector \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 2 - (-2) \cdot (-3)) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-3) - 0 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(0 - 6) - \mathbf{j}(4 + 2) + \mathbf{k}(-6 - 0) \] \[ = -6\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - 6\mathbf{k} \] \[ = (-6, -6, -6) \] Tính độ dài của vectơ này: \[ \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \] Vậy diện tích tam giác \( ABC \) là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \] 3. Tìm độ dài cạnh \( BC \): \[ BC = \| \overrightarrow{BC} \| = \| C - B \| = \| (2-3, -1-2, 5-1) \| = \| (-1, -3, 4) \| \] \[ BC = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \] 4. Tìm độ dài đường cao \( AH \): Độ dài đường cao \( AH \) được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \] \[ 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \sqrt{26} \times AH \] \[ AH = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{26}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{26}} \times \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}} = \frac{6\sqrt{78}}{26} = \frac{3\sqrt{78}}{13} \] Vậy độ dài đường cao \( AH \) là: \[ \boxed{\frac{3\sqrt{78}}{13}} \]