giúp đỡ với

Câu 4: Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề đúng. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ (theo quy tắc tam giác trong hình học vector). - Thêm vào đó, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ (vì $\overrightarrow{AC'}$ là tổng của $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AA'}$). Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$. Mệnh đề này đúng. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ không thể bằng $\overrightarrow{AD}$ vì $\overrightarrow{AC}$ đã bao gồm cả $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. - Do đó, mệnh đề này sai. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$. - Thêm vào đó, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}$ không thể bằng $\overrightarrow{AC}$. Do đó, mệnh đề này sai. D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$. - Thêm vào đó, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}$ không thể bằng $\overrightarrow{AC}$. Do đó, mệnh đề này sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$. Đáp án: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ Câu 5: Trước tiên, ta sẽ phân tích từng véc-tơ trong phép toán $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA^\prime}$. - $\overrightarrow{BC}$ là véc-tơ từ điểm B đến điểm C. - $\overrightarrow{DC}$ là véc-tơ từ điểm D đến điểm C. - $\overrightarrow{AA^\prime}$ là véc-tơ từ điểm A đến điểm A'. Bây giờ, ta sẽ cộng từng véc-tơ này lại theo quy tắc hình học của véc-tơ. 1. Ta có $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC}$: - $\overrightarrow{BC}$ là véc-tơ từ B đến C. - $\overrightarrow{DC}$ là véc-tơ từ D đến C. - Khi cộng hai véc-tơ này, ta nhận thấy rằng $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC}$ sẽ tạo thành véc-tơ từ B đến D, tức là $\overrightarrow{BD}$. 2. Tiếp theo, ta cộng $\overrightarrow{BD}$ với $\overrightarrow{AA^\prime}$: - $\overrightarrow{BD}$ là véc-tơ từ B đến D. - $\overrightarrow{AA^\prime}$ là véc-tơ từ A đến A'. - Khi cộng hai véc-tơ này, ta nhận thấy rằng $\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AA^\prime}$ sẽ tạo thành véc-tơ từ B đến D' (vì $\overrightarrow{AA^\prime}$ là véc-tơ thẳng đứng từ đáy lên đỉnh của hình hộp). Do đó, kết quả của phép toán $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA^\prime}$ là $\overrightarrow{BD'}$. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có véc-tơ $\overrightarrow{BD'}$. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho để xem có véc-tơ nào tương đương với $\overrightarrow{BD'}$ không. Ta nhận thấy rằng $\overrightarrow{BD'}$ là véc-tơ từ B đến D', và trong các đáp án đã cho, véc-tơ $\overrightarrow{AC'}$ là véc-tơ từ A đến C'. Do đó, $\overrightarrow{AC'}$ là véc-tơ tương đương với $\overrightarrow{BD'}$. Vậy, kết quả của phép toán $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA^\prime}$ là $\overrightarrow{AC'}$. Đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{AC'}$. Câu 6: Trước tiên, ta sẽ xác định các vectơ trong hình lập phương ABCD.EFGH. - $\overrightarrow{CB}$ là vectơ từ đỉnh C đến đỉnh B. - $\overrightarrow{CD}$ là vectơ từ đỉnh C đến đỉnh D. - $\overrightarrow{CG}$ là vectơ từ đỉnh C đến đỉnh G. Theo quy tắc cộng vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CG} \] Trong hình lập phương, ta biết rằng: - $\overrightarrow{CB}$ là vectơ dọc theo cạnh bên của hình lập phương. - $\overrightarrow{CD}$ là vectơ dọc theo cạnh đáy của hình lập phương. - $\overrightarrow{CG}$ là vectơ dọc theo đường chéo của mặt bên của hình lập phương. Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CG} \] Do đó: \[ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CH} \] Vậy, $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{CH}$. Đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{CH}$. Câu 7: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào đúng. A. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SB}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{AB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AB}$ không bằng $\overrightarrow{SB}$. Do đó, mệnh đề này sai. B. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{AB}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{SB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB}$ không bằng $\overrightarrow{AB}$. Do đó, mệnh đề này sai. C. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{SB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB}$ bằng $\overrightarrow{BA}$. Do đó, mệnh đề này đúng. D. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SC}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{SB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB}$ không bằng $\overrightarrow{SC}$. Do đó, mệnh đề này sai. Vậy, mệnh đề đúng là: C. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Câu 8: Để tìm giá trị của \( k \) trong đẳng thức \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = k \overrightarrow{DG}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trọng tâm G của tam giác ABC: Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) được xác định bởi: \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] 2. Biểu diễn vectơ DG: Vectơ \(\overrightarrow{DG}\) từ điểm \( D \) đến trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là: \[ \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{D} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} - \overrightarrow{D} \] 3. Tính tổng các vectơ DA, DB, DC: Ta có: \[ \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}, \quad \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}, \quad \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} \] Tổng của chúng là: \[ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}) + (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}) \] \[ = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{D} \] 4. So sánh với vectơ DG: Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{D} \] \[ = 3 \left( \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} - \overrightarrow{D} \right) \] \[ = 3 \overrightarrow{DG} \] Do đó, giá trị của \( k \) là 3. Đáp án: B. \( k = 3 \). Câu 9: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm G của tam giác ABC chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm. Ta sẽ chứng minh rằng $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = 3\overrightarrow{SG}$. Bước 1: Xác định các vectơ liên quan: - $\overrightarrow{SA}$ là vectơ từ S đến A. - $\overrightarrow{SB}$ là vectơ từ S đến B. - $\overrightarrow{SC}$ là vectơ từ S đến C. - $\overrightarrow{SG}$ là vectơ từ S đến G. Bước 2: Ta biết rằng trọng tâm G của tam giác ABC thỏa mãn: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \] Bước 3: Ta viết các vectơ từ S đến các điểm A, B, C và G theo quy tắc vectơ: \[ \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GA} \] \[ \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GB} \] \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GC} \] Bước 4: Cộng các vectơ này lại: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = (\overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GC}) \] Bước 5: Gom các vectơ giống nhau: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = 3\overrightarrow{SG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) \] Bước 6: Vì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$, nên: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = 3\overrightarrow{SG} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = 3\overrightarrow{SG}$. Câu 10: Để tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ các điểm: - Chọn hệ tọa độ sao cho: - Điểm A ở gốc tọa độ: \(A(0, 0, 0)\) - Điểm B nằm trên trục Ox: \(B(a, 0, 0)\) - Điểm C nằm trong mặt phẳng Oxy: \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\) - Điểm D nằm thẳng đứng trên trục Oz: \(D\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\) 2. Tìm tọa độ của M: - M là trung điểm của CD, do đó: \[ M = \left(\frac{\frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2}, \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{6}}{2}, \frac{0 + \frac{a\sqrt{6}}{3}}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{3}, \frac{a\sqrt{6}}{6}\right) \] 3. Tìm các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (a, 0, 0) \] - Vectơ $\overrightarrow{AM}$: \[ \overrightarrow{AM} = M - A = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{3}, \frac{a\sqrt{6}}{6}\right) \] 4. Tính tích vô hướng: - Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}$: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} = a \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} + 0 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{6} = \frac{a^2}{2} \] Vậy tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}$ là $\frac{a^2}{2}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{a^2}{2}$.