mình ktra đa a

Câu 9. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = x^2 e^x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 e^x) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ y' = x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^x) + e^x \cdot \frac{d}{dx}(x^2) \] \[ y' = x^2 \cdot e^x + e^x \cdot 2x \] \[ y' = e^x (x^2 + 2x) \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: \[ y' = e^x (x^2 + 2x) = 0 \] Vì \( e^x > 0 \) với mọi \( x \), nên ta chỉ cần xét: \[ x^2 + 2x = 0 \] \[ x(x + 2) = 0 \] Vậy \( x = 0 \) hoặc \( x = -2 \). 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định: Ta chia trục số thành các khoảng dựa vào các điểm \( x = -2 \) và \( x = 0 \): - Khi \( x < -2 \): Chọn \( x = -3 \), ta có \( y' = e^{-3}((-3)^2 + 2(-3)) = e^{-3}(9 - 6) = 3e^{-3} > 0 \). - Khi \( -2 < x < 0 \): Chọn \( x = -1 \), ta có \( y' = e^{-1}((-1)^2 + 2(-1)) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} < 0 \). - Khi \( x > 0 \): Chọn \( x = 1 \), ta có \( y' = e^{1}(1^2 + 2(1)) = e(1 + 2) = 3e > 0 \). 4. Kết luận khoảng nghịch biến: Hàm số \( y = x^2 e^x \) nghịch biến trên khoảng \( (-2; 0) \). Vậy đáp án đúng là: B. \( (-2; 0) \). Câu 10. Để tìm độ dài đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (5, -2, 4) - (-3, 0, 4) = (5 + 3, -2 - 0, 4 - 4) = (8, -2, 0) \] 2. Tìm vectơ \(\overrightarrow{BM}\), trong đó \(M\) là trung điểm của \(BC\): \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} (8, -2, 0) = (4, -1, 0) \] 3. Tìm vectơ \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = (-3, 0, 4) + (4, -1, 0) = (1, -1, 4) \] 4. Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{AM}\): \[ |\overrightarrow{AM}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] Vậy độ dài đường trung tuyến \(AM\) là \(3\sqrt{2}\). Đáp án đúng là: D. \(3\sqrt{2}\). Câu 11. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x^2 - 2x + 4)'(x - 2) - (x^2 - 2x + 4)(x - 2)'}{(x - 2)^2} \] Tính đạo hàm của tử và mẫu: \[ (x^2 - 2x + 4)' = 2x - 2 \] \[ (x - 2)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 2) - (x^2 - 2x + 4)}{(x - 2)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - 2x + 4 - x^2 + 2x - 4}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2} = \frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc vô định: \[ f'(x) = \frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2} \] Đạo hàm bằng 0 khi: \[ x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 4 \] Đạo hàm vô định khi: \[ (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng: Ta xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng được xác định bởi các điểm \( x = 0 \), \( x = 2 \), và \( x = 4 \): - Khi \( x < 0 \): \( x(x - 4) > 0 \) và \( (x - 2)^2 > 0 \) nên \( f'(x) > 0 \) - Khi \( 0 < x < 2 \): \( x(x - 4) < 0 \) và \( (x - 2)^2 > 0 \) nên \( f'(x) < 0 \) - Khi \( 2 < x < 4 \): \( x(x - 4) < 0 \) và \( (x - 2)^2 > 0 \) nên \( f'(x) < 0 \) - Khi \( x > 4 \): \( x(x - 4) > 0 \) và \( (x - 2)^2 > 0 \) nên \( f'(x) > 0 \) 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 0) \) và \( (4, +\infty) \) - Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (0, 2) \) và \( (2, 4) \) Do đó, trong các đáp án đã cho, hàm số đồng biến trên khoảng \( (2, +\infty) \). Đáp án đúng là: C. \( (2, +\infty) \) Câu 12. Trước tiên, ta xác định các điểm và vectơ liên quan: - Hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 2a, và ABCD là hình vuông tâm O. - M là trung điểm của CD. Ta cần tính giá trị của \( \overrightarrow{MS} \cdot \overrightarrow{CB} \). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm. - Giả sử A(0, 0, 0), B(2a, 0, 0), C(2a, 2a, 0), D(0, 2a, 0). - Tâm O của hình vuông ABCD là (a, a, 0). - Vì S là đỉnh của chóp và các cạnh bên đều bằng 2a, ta có thể giả sử S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) đi qua O. Do đó, S có tọa độ (a, a, h), trong đó h là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD). Bước 2: Tính tọa độ của M. - M là trung điểm của CD, nên tọa độ của M là \(\left( \frac{0 + 2a}{2}, \frac{2a + 2a}{2}, 0 \right) = (a, 2a, 0)\). Bước 3: Xác định các vectơ. - Vectơ \(\overrightarrow{MS}\) có tọa độ là \((a - a, a - 2a, h - 0) = (0, -a, h)\). - Vectơ \(\overrightarrow{CB}\) có tọa độ là \((2a - 2a, 0 - 2a, 0 - 0) = (0, -2a, 0)\). Bước 4: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{MS} \cdot \overrightarrow{CB}\). - \(\overrightarrow{MS} \cdot \overrightarrow{CB} = (0, -a, h) \cdot (0, -2a, 0) = 0 \cdot 0 + (-a) \cdot (-2a) + h \cdot 0 = 2a^2\). Vậy giá trị của \( \overrightarrow{MS} \cdot \overrightarrow{CB} \) là \(2a^2\). Đáp án đúng là: C. \(2a^2\). Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y=2.$ Đường tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{ax + 1}{bx + c}$ là giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. Ta có: \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{ax + 1}{bx + c} = \frac{a}{b} \] Theo đề bài, đường tiệm cận ngang là $y = 2$, do đó: \[ \frac{a}{b} = 2 \implies a = 2b \] b) b và c trái dấu. Đường tiệm cận đứng của hàm số là giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0, tức là: \[ bx + c = 0 \implies x = -\frac{c}{b} \] Để đồ thị hàm số có dạng như trong hình vẽ, đường tiệm cận đứng phải nằm ở phía âm của trục hoành. Điều này có nghĩa là $-\frac{c}{b} < 0$. Do đó, $b$ và $c$ phải trái dấu. c) Tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều có hệ số góc âm. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(x_0, y_0)$ trên đồ thị hàm số là đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{ax + 1}{bx + c} \right)' = \frac{(ax + 1)'(bx + c) - (ax + 1)(bx + c)'}{(bx + c)^2} = \frac{a(bx + c) - b(ax + 1)}{(bx + c)^2} = \frac{ac - b}{(bx + c)^2} \] Vì $(bx + c)^2$ luôn dương, hệ số góc của tiếp tuyến phụ thuộc vào dấu của $ac - b$. Để tất cả các tiếp tuyến đều có hệ số góc âm, ta cần: \[ ac - b < 0 \] Với $a = 2b$, ta có: \[ 2bc - b < 0 \implies b(2c - 1) < 0 \] Do $b$ và $c$ trái dấu, $2c - 1$ cũng phải trái dấu với $b$. Điều này có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị cụ thể của $b$ và $c$. d) Nếu đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = -3$ thì $a = b + c.$ Theo đề bài, đường tiệm cận đứng là $x = -3$, tức là: \[ -\frac{c}{b} = -3 \implies \frac{c}{b} = 3 \implies c = 3b \] Ta đã biết $a = 2b$, do đó: \[ a = 2b \quad \text{và} \quad c = 3b \] Tổng $b + c$ là: \[ b + c = b + 3b = 4b \] Như vậy, $a = 2b$ không bằng $b + c = 4b$. Do đó, khẳng định này là sai. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y=2.$ - Đáp án b) b và c trái dấu. - Đáp án c) Tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều có hệ số góc âm. - Đáp án d) Nếu đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = -3$ thì $a = b + c.$ Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Tính độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếu đèn chùm - Khối lượng của chiếu đèn chùm là $m = 5 \text{ kg}$. - Gia tốc rơi tự do là $g = 10 \text{ m/s}^2$. - Trọng lực $\overrightarrow{P}$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{P}| = m \cdot g = 5 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 = 50 \text{ N} \] Bước 2: Xác định tính chất của tam giác SBD - Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và đỉnh S tạo thành các đoạn xích SA, SB, SC, SD. - Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều và $\widehat{ASC} = 60^\circ$, nên tam giác SBD cũng là tam giác đều vì các cạnh SB, SD và BD đều bằng nhau. Bước 3: Xác định vectơ $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$ - Ta biết rằng O là tâm của hình vuông ABCD, do đó: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4 \overrightarrow{SO} \] - Điều này là đúng vì O là trung điểm của các đường chéo AC và BD, và các vectơ từ S đến các đỉnh A, B, C, D đều hội tụ về O. Bước 4: Tính độ lớn lực căng cho mỗi sợi xích - Trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếu đèn chùm là 50 N. - Vì có 4 đoạn xích giữ chiếu đèn chùm, nên lực căng cho mỗi sợi xích là: \[ F_{\text{căng}} = \frac{|\overrightarrow{P}|}{4} = \frac{50 \text{ N}}{4} = 12.5 \text{ N} \] Kết luận - Độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếu đèn chùm là 50 N. - Tam giác SBD là tam giác đều. - $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4 \overrightarrow{SO}$ với O là tâm hình vuông ABCD. - Độ lớn lực căng cho mỗi sợi xích là 12.5 N. Đáp án: a) 50 N b) Đúng c) Đúng d) 12.5 N