giúp e với ạ

Câu 2. a) Hai đường thẳng AB và CD song song. - Vì trong hình hộp, các cạnh đối diện là song song nên AB // CD. b) Hai đường thẳng AD và BB' cắt nhau. - Trong hình hộp, các đường thẳng AD và BB' nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và không song song, do đó chúng có thể cắt nhau hoặc không cắt nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng không cắt nhau vì chúng nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và không chung điểm nào. c) Đường thẳng A'D song song với mặt phẳng (BCC'). - Để chứng minh A'D song song với mặt phẳng (BCC'), ta cần tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (BCC') và song song với A'D. Ta thấy rằng B'C' // A'D vì cả hai đều song song với AD. Do đó, A'D song song với mặt phẳng (BCC'). d) Hai mặt phẳng (BA'D) và (B'D'C) song song. - Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta cần tìm hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và song song với nhau. Ta thấy rằng BA' // B'D' và A'D // B'C'. Vì vậy, hai mặt phẳng (BA'D) và (B'D'C) song song. Đáp án: a) AB // CD b) AD và BB' không cắt nhau c) A'D song song với mặt phẳng (BCC') d) Mặt phẳng (BA'D) và (B'D'C) song song Câu 1. Lần đầu tiên, anh An đặt cược 20 đô la. Mỗi lần sau đó, số tiền đặt cược gấp đôi số tiền đặt cược trước đó. Anh An thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Chúng ta sẽ tính số tiền đặt cược ở lần thứ 10 để biết anh An thắng được bao nhiêu đô la. Số tiền đặt cược ở lần thứ 10 là: \[ 20 \times 2^9 = 20 \times 512 = 10240 \text{ (đô la)} \] Vì anh An thắng ở lần thứ 10, nên anh sẽ nhận lại số tiền đặt cược ở lần này. Vậy anh An thắng được 10240 đô la. Đáp số: 10240 đô la. Câu 2. Để giải phương trình $\cos2x - \cos(x + \frac{\pi}{3}) = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho $\cos A - \cos B$: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) \] Trong đó, $A = 2x$ và $B = x + \frac{\pi}{3}$. Bước 2: Thay vào công thức: \[ \cos 2x - \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = -2 \sin \left( \frac{2x + x + \frac{\pi}{3}}{2} \right) \sin \left( \frac{2x - (x + \frac{\pi}{3})}{2} \right) \] \[ = -2 \sin \left( \frac{3x + \frac{\pi}{3}}{2} \right) \sin \left( \frac{x - \frac{\pi}{3}}{2} \right) \] Bước 3: Phương trình trở thành: \[ -2 \sin \left( \frac{3x + \frac{\pi}{3}}{2} \right) \sin \left( \frac{x - \frac{\pi}{3}}{2} \right) = 0 \] Bước 4: Để phương trình này bằng 0, ít nhất một trong hai nhân tử phải bằng 0: \[ \sin \left( \frac{3x + \frac{\pi}{3}}{2} \right) = 0 \quad \text{hoặc} \quad \sin \left( \frac{x - \frac{\pi}{3}}{2} \right) = 0 \] Bước 5: Giải từng phương trình: 1. $\sin \left( \frac{3x + \frac{\pi}{3}}{2} \right) = 0$ \[ \frac{3x + \frac{\pi}{3}}{2} = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ 3x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi \] \[ 3x = 2k\pi - \frac{\pi}{3} \] \[ x = \frac{2k\pi}{3} - \frac{\pi}{9} \] 2. $\sin \left( \frac{x - \frac{\pi}{3}}{2} \right) = 0$ \[ \frac{x - \frac{\pi}{3}}{2} = m\pi \quad (m \in \mathbb{Z}) \] \[ x - \frac{\pi}{3} = 2m\pi \] \[ x = 2m\pi + \frac{\pi}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{2k\pi}{3} - \frac{\pi}{9} \quad \text{hoặc} \quad x = 2m\pi + \frac{\pi}{3} \quad (k, m \in \mathbb{Z}) \] Câu 3. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow1}\frac{f(x)-2}{(x^2-1)[f(x)+1]},$ ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giới hạn ban đầu Ta biết rằng: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{f(x)-2}{x-1}=24. \] Bước 2: Biến đổi biểu thức trong giới hạn Ta cần tính: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{f(x)-2}{(x^2-1)[f(x)+1]}. \] Nhận thấy rằng $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{f(x)-2}{(x-1)(x+1)[f(x)+1]}. \] Bước 3: Thay giới hạn đã biết vào biểu thức Ta biết rằng: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{f(x)-2}{x-1} = 24. \] Do đó, ta có thể thay vào: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{f(x)-2}{(x-1)(x+1)[f(x)+1]} = \lim_{x\rightarrow1}\left(\frac{f(x)-2}{x-1} \cdot \frac{1}{(x+1)[f(x)+1]}\right). \] Bước 4: Tính giới hạn từng phần Ta đã biết: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{f(x)-2}{x-1} = 24. \] Và: \[ \lim_{x\rightarrow1}(x+1) = 1 + 1 = 2, \] \[ \lim_{x\rightarrow1}[f(x)+1] = f(1) + 1. \] Từ đây, ta có: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{(x+1)[f(x)+1]} = \frac{1}{2[f(1)+1]}. \] Bước 5: Kết hợp các giới hạn Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{f(x)-2}{(x-1)(x+1)[f(x)+1]} = 24 \cdot \frac{1}{2[f(1)+1]} = \frac{24}{2[f(1)+1]} = \frac{12}{f(1)+1}. \] Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{f(x)-2}{(x^2-1)[f(x)+1]} = \frac{12}{f(1)+1}. \] Câu 4. Để tính giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4n^2 + 1}}{n - 3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $n$ để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4n^2 + 1}}{n - 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4n^2 + 1}}{n} \cdot \frac{1}{1 - \frac{3}{n}} \] Bước 2: Tính giới hạn của từng phần: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4n^2 + 1}}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{3}{n}} \] Bước 3: Xét giới hạn từng phần riêng lẻ: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4n^2 + 1}}{n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{4n^2 + 1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 + \frac{1}{n^2}} = \sqrt{4 + 0} = 2 \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{3}{n}} = \frac{1}{1 - 0} = 1 \] Bước 4: Kết hợp các giới hạn đã tính: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4n^2 + 1}}{n - 3} = 2 \cdot 1 = 2 \] Vậy $a = 2$. Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức $P = a^2 - 1$: \[ P = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \] Đáp số: $P = 3$. Câu 1. Trước tiên, ta cần tìm công thức của số hạng tổng quát \( u_n \) của cấp số cộng đã cho. Cấp số cộng có dạng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] với \( u_1 = 5 \). Biết rằng tổng của 50 số hạng đầu tiên là 5150, ta có thể sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng: \[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2u_1 + (n-1)d \right) \] Áp dụng vào bài toán: \[ S_{50} = \frac{50}{2} \left( 2 \cdot 5 + (50-1)d \right) = 5150 \] Giải phương trình này để tìm \( d \): \[ 25 \left( 10 + 49d \right) = 5150 \] \[ 10 + 49d = \frac{5150}{25} \] \[ 10 + 49d = 206 \] \[ 49d = 196 \] \[ d = \frac{196}{49} \] \[ d = 4 \] Bây giờ, ta có thể viết công thức của số hạng tổng quát \( u_n \): \[ u_n = 5 + (n-1) \cdot 4 \] \[ u_n = 5 + 4n - 4 \] \[ u_n = 4n + 1 \] Vậy công thức của số hạng tổng quát \( u_n \) là: \[ u_n = 4n + 1 \] Câu 2. a) Ta có: \[ I = \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 7x + 6}{x - 2} \] Để tính giới hạn này, ta sẽ phân tích tử số thành nhân tử và rút gọn với mẫu số. Tử số \(2x^2 - 7x + 6\) có thể được phân tích thành nhân tử như sau: \[ 2x^2 - 7x + 6 = (2x - 3)(x - 2) \] Do đó: \[ I = \lim_{x \to 2} \frac{(2x - 3)(x - 2)}{x - 2} \] Rút gọn biểu thức: \[ I = \lim_{x \to 2} (2x - 3) \] Thay \(x = 2\) vào biểu thức: \[ I = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \] Vậy: \[ I = 1 \] b) Ta có: \[ \lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 + 2n} - n - 2) \] Để tính giới hạn này, ta sẽ nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức. Nhân lượng liên hợp: \[ \sqrt{n^2 + 2n} - n - 2 = \left( \sqrt{n^2 + 2n} - n - 2 \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 2n} + n + 2}{\sqrt{n^2 + 2n} + n + 2} \] Ta có: \[ \sqrt{n^2 + 2n} - n - 2 = \frac{(\sqrt{n^2 + 2n})^2 - (n + 2)^2}{\sqrt{n^2 + 2n} + n + 2} \] \[ = \frac{n^2 + 2n - (n^2 + 4n + 4)}{\sqrt{n^2 + 2n} + n + 2} \] \[ = \frac{n^2 + 2n - n^2 - 4n - 4}{\sqrt{n^2 + 2n} + n + 2} \] \[ = \frac{-2n - 4}{\sqrt{n^2 + 2n} + n + 2} \] Chia cả tử và mẫu cho \(n\): \[ = \frac{-2 - \frac{4}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1 + \frac{2}{n}} \] Khi \(n \to +\infty\), các phân số \(\frac{4}{n}\) và \(\frac{2}{n}\) sẽ tiến đến 0: \[ = \frac{-2 - 0}{\sqrt{1 + 0} + 1 + 0} \] \[ = \frac{-2}{1 + 1} \] \[ = \frac{-2}{2} \] \[ = -1 \] Vậy: \[ \lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 + 2n} - n - 2) = -1 \] Câu 3. Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. - M là trung điểm của A'B'. - N là trung điểm của DD'. - Ta cần chứng minh rằng đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng (A'BD). Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng liên quan. - Điểm M nằm trên đoạn A'B' và là trung điểm của nó. - Điểm N nằm trên đoạn DD' và là trung điểm của nó. Bước 2: Xác định các đường thẳng và mặt phẳng liên quan. - Mặt phẳng (A'BD) bao gồm các điểm A', B và D. - Đoạn thẳng MN nối giữa hai điểm M và N. Bước 3: Chứng minh MN song song với mặt phẳng (A'BD). - Ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh đoạn thẳng song song với mặt phẳng bằng cách tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và song song với đoạn thẳng cần chứng minh. Ta thấy rằng: - Điểm M là trung điểm của A'B', do đó đoạn thẳng MB' song song với đoạn thẳng AB (vì A'B' song song với AB). - Điểm N là trung điểm của DD', do đó đoạn thẳng ND song song với đoạn thẳng AD (vì DD' song song với AD). Do đó, đoạn thẳng MN sẽ song song với đoạn thẳng BD (vì M và N là trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng và các đoạn thẳng này song song với các đoạn thẳng trong mặt phẳng (A'BD)). Vậy, ta đã chứng minh được rằng đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng (A'BD). Đáp số: MN // (A'BD). Câu 4. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Ta cũng biết rằng M là điểm trên cạnh SB sao cho $\frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$. Bây giờ, ta sẽ tìm tỉ số $\frac{ND}{NM}$, trong đó N là giao điểm của đường thẳng MD và mặt phẳng (SIK). Ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết bài toán này. Giả sử S là đỉnh chóp và A, B, C, D là các đỉnh của đáy hình bình hành ABCD. Ta đặt tọa độ các điểm như sau: - S(0, 0, h) - A(a, b, 0) - B(c, d, 0) - C(e, f, 0) - D(g, h, 0) Vì I là trung điểm của BC, nên tọa độ của I là: \[ I\left(\frac{c+e}{2}, \frac{d+f}{2}, 0\right) \] Vì K là trung điểm của CD, nên tọa độ của K là: \[ K\left(\frac{e+g}{2}, \frac{f+h}{2}, 0\right) \] M là điểm trên SB sao cho $\frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$, nên tọa độ của M là: \[ M\left(\frac{2c}{3}, \frac{2d}{3}, \frac{h}{3}\right) \] Ta cần tìm giao điểm N của đường thẳng MD và mặt phẳng (SIK). Mặt phẳng (SIK) có phương trình: \[ \alpha x + \beta y + \gamma z = \delta \] Để tìm phương trình của mặt phẳng (SIK), ta sử dụng ba điểm S, I và K. Ta có: \[ \begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ 0 & 0 & h & 1 \\ \frac{c+e}{2} & \frac{d+f}{2} & 0 & 1 \\ \frac{e+g}{2} & \frac{f+h}{2} & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \] Sau khi tính toán, ta có phương trình của mặt phẳng (SIK): \[ hx - \frac{h}{2}(c+e)x + hy - \frac{h}{2}(d+f)y = 0 \] \[ hx + hy = \frac{h}{2}(c+e)x + \frac{h}{2}(d+f)y \] \[ 2hx + 2hy = (c+e)x + (d+f)y \] \[ (2h - c - e)x + (2h - d - f)y = 0 \] Đường thẳng MD có phương trình tham số: \[ x = g + t\left(\frac{2c}{3} - g\right) \] \[ y = h + t\left(\frac{2d}{3} - h\right) \] \[ z = t\left(\frac{h}{3}\right) \] Thay vào phương trình mặt phẳng (SIK): \[ (2h - c - e)\left(g + t\left(\frac{2c}{3} - g\right)\right) + (2h - d - f)\left(h + t\left(\frac{2d}{3} - h\right)\right) = 0 \] Giải phương trình này để tìm giá trị của t, ta có: \[ t = \frac{2}{3} \] Do đó, tọa độ của N là: \[ N\left(g + \frac{2}{3}\left(\frac{2c}{3} - g\right), h + \frac{2}{3}\left(\frac{2d}{3} - h\right), \frac{2h}{9}\right) \] Cuối cùng, ta tính tỉ số $\frac{ND}{NM}$: \[ \frac{ND}{NM} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 2 \] Vậy tỉ số $\frac{ND}{NM}$ là: \[ \boxed{2} \]