cuuwuusus svvsvsv

Câu 1. Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \) dựa vào đạo hàm, ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng đã cho. - Trên khoảng \((-1, 0)\), ta có \( f'(x) < 0 \). Điều này cho thấy đạo hàm âm, do đó hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng \((0, 1)\), ta có \( f'(x) > 0 \). Điều này cho thấy đạo hàm dương, do đó hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng này. Từ những phân tích trên, ta có thể kết luận rằng: - Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng \((-1, 0)\). - Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \((0, 1)\). Do đó, phát biểu đúng là: D. Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng \((-1, 0)\) và đồng biến trên khoảng \((0, 1)\). Câu 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) = -x^3 + 3x + 1 \) trên khoảng \( (0, +\infty) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x + 1) = -3x^2 + 3 \] 2. Xác định điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \] \[ -3x^2 + 3 = 0 \] \[ 3(1 - x^2) = 0 \] \[ 1 - x^2 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Trong khoảng \( (0, +\infty) \), chỉ có \( x = 1 \) nằm trong khoảng này. 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm để xác định cực đại và cực tiểu: - Khi \( x < 1 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng) - Khi \( x > 1 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số giảm) Do đó, tại \( x = 1 \), hàm số đạt cực đại. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại: \[ f(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] 5. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} (-x^3 + 3x + 1) = -\infty \] Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \( (0, +\infty) \) là 3, đạt được khi \( x = 1 \). Giá trị nhỏ nhất không tồn tại vì hàm số tiến đến âm vô cùng khi \( x \to +\infty \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi \( x = 1 \). Do đó, phát biểu đúng là: D. \( M = 3 \) Câu 3. Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) = \frac{3x - 1}{x - 3} \) trên đoạn [0, 2], ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{3x - 1}{x - 3} \right)' = \frac{(3)(x - 3) - (3x - 1)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{3x - 9 - 3x + 1}{(x - 3)^2} = \frac{-8}{(x - 3)^2} \] 2. Xét dấu đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{-8}{(x - 3)^2} < 0 \quad \text{với mọi } x \neq 3 \] Do đó, hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, 3) \) và \( (3, +\infty) \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn [0, 2]: \[ f(0) = \frac{3(0) - 1}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] \[ f(2) = \frac{3(2) - 1}{2 - 3} = \frac{6 - 1}{-1} = \frac{5}{-1} = -5 \] 4. So sánh các giá trị: - Trên đoạn [0, 2], hàm số \( f(x) \) nghịch biến, do đó giá trị lớn nhất của hàm số sẽ là giá trị tại điểm đầu mút trái (x = 0), và giá trị nhỏ nhất sẽ là giá trị tại điểm đầu mút phải (x = 2). Vậy: - Giá trị lớn nhất \( M = \frac{1}{3} \) - Giá trị nhỏ nhất \( m = -5 \) Do đó, phát biểu đúng là: A. \( m = -5, M = \frac{1}{3} \) Đáp án: A. \( m = -5, M = \frac{1}{3} \) Câu 4. Để xác định đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số từ bảng biến thiên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng là đường thẳng đứng mà hàm số tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng khi \( x \) tiến đến một giá trị cố định nào đó. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến 2 từ bên trái (\( x \to 2^- \)), giá trị của \( y \) tiến đến \( +\infty \). Khi \( x \) tiến đến 2 từ bên phải (\( x \to 2^+ \)), giá trị của \( y \) tiến đến \( -\infty \). Do đó, đường tiệm cận đứng là \( x = 2 \). 2. Tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang là đường thẳng ngang mà hàm số tiến đến khi \( x \) tiến đến dương vô cùng hoặc âm vô cùng. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) hoặc \( -\infty \), giá trị của \( y \) tiến đến 1. Do đó, đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \). Từ những phân tích trên, ta có: - Đường tiệm cận đứng là \( x = 2 \). - Đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \). Vậy đáp án đúng là: C. \( x = 2, y = 1 \). Câu 5. Để tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{3x^2 - 4x + 5}{3x + 1} \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đường tiệm cận đứng Đường tiệm cận đứng của hàm số \( y = f(x) \) là các giá trị \( x \) làm cho mẫu số bằng 0. \[ 3x + 1 = 0 \] \[ x = -\frac{1}{3} \] Vậy đường tiệm cận đứng là \( x = -\frac{1}{3} \). Bước 2: Tìm đường tiệm cận xiên Đường tiệm cận xiên của hàm số \( y = f(x) \) được tìm bằng cách chia tử số cho mẫu số và lấy phần thương. Ta thực hiện phép chia \( 3x^2 - 4x + 5 \) cho \( 3x + 1 \): \[ \begin{array}{r|rr} & 3x^2 - 4x + 5 \\ \hline 3x + 1 & x - \frac{5}{3} \\ & 3x^2 + x \\ \hline & -5x + 5 \\ & -5x - \frac{5}{3} \\ \hline & \frac{20}{3} \\ \end{array} \] Phép chia này cho ta kết quả: \[ \frac{3x^2 - 4x + 5}{3x + 1} = x - \frac{5}{3} + \frac{\frac{20}{3}}{3x + 1} \] Khi \( x \to \pm \infty \), phần dư \( \frac{\frac{20}{3}}{3x + 1} \) sẽ tiến đến 0. Vậy đường tiệm cận xiên là: \[ y = x - \frac{5}{3} \] Kết luận Đường tiệm cận đứng là \( x = -\frac{1}{3} \) và đường tiệm cận xiên là \( y = x - \frac{5}{3} \). Vậy đáp án đúng là: B. \( x = -\frac{1}{3}, y = x - \frac{5}{3} \). Câu 6. Để xác định đồ thị của hàm số \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} \) với \( a \neq 0 \) và \( d \neq 0 \), chúng ta cần kiểm tra các tính chất của hàm số này. 1. Tiên quyết xác định các tính chất cơ bản: - Hàm số \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} \) là một hàm phân thức bậc hai chia cho bậc nhất. - Hàm số này có đường tiệm cận đứng tại điểm \( x = -\frac{e}{d} \) (vì mẫu số \( dx + e \) bằng 0 tại điểm này). 2. Kiểm tra các đồ thị: - Đồ thị của hàm phân thức bậc hai chia cho bậc nhất thường có dạng cong và có đường tiệm cận đứng. - Đường tiệm cận đứng sẽ là một đường thẳng đứng mà đồ thị không bao giờ cắt qua. 3. Phân tích từng đồ thị: - Đồ thị a) có đường tiệm cận đứng và có dạng cong, phù hợp với hàm phân thức bậc hai chia cho bậc nhất. - Đồ thị b) có đường tiệm cận đứng nhưng không có dạng cong, không phù hợp. - Đồ thị c) không có đường tiệm cận đứng, không phù hợp. - Đồ thị d) có đường tiệm cận đứng nhưng không có dạng cong, không phù hợp. Từ đó, chúng ta kết luận rằng đồ thị đúng là đồ thị a). Đáp án: A. a) Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( g(x) = f(x) + 2024 \) trên đoạn \([-2, 2]\). Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-2, 2]\). Dựa vào đồ thị của hàm số \( y = f(x) \): - Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([-2, 2]\) là \( f(1) = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([-2, 2]\) là \( f(-1) = -1 \). Bước 2: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( g(x) = f(x) + 2024 \). - Giá trị lớn nhất của \( g(x) \) là: \[ M = f(1) + 2024 = 2 + 2024 = 2026 \] - Giá trị nhỏ nhất của \( g(x) \) là: \[ m = f(-1) + 2024 = -1 + 2024 = 2023 \] Bước 3: Tính hiệu \( M - m \). \[ M - m = 2026 - 2023 = 3 \] Vậy giá trị của \( M - m \) là 3. Đáp án đúng là: D. \( M - m = 3 \). Câu 8. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm \( G \) của hình tứ diện \( ABCD \) là điểm chia mỗi đoạn thẳng từ đỉnh đến trọng tâm của mặt phẳng đối diện thành tỉ số \( 3:1 \). Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \( \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \) Đây là mệnh đề sai vì trọng tâm \( G \) của hình tứ diện không được tính theo công thức này. Trọng tâm \( G \) của hình tứ diện \( ABCD \) được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] B. \( \overrightarrow{AG} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \) Đây cũng là mệnh đề sai vì trọng tâm \( G \) của hình tứ diện không được tính theo công thức này. Trọng tâm \( G \) của hình tứ diện \( ABCD \) được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] C. \( \overrightarrow{OG} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \) Đây là mệnh đề đúng vì trọng tâm \( G \) của hình tứ diện \( ABCD \) được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] D. \( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 0 \) Đây là mệnh đề đúng vì tổng các vectơ từ trọng tâm \( G \) đến các đỉnh của hình tứ diện bằng không. Như vậy, các mệnh đề sai là A và B. Đáp án: A và B. Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{OM} = 3i - 4j + 2k$. Tọa độ của điểm M là: A. (-4; 3; 2) B. (2; 3; -4) C. (3; -4; 2) D. (-2; -3; 4) Giải: - Vector $\overrightarrow{OM}$ được viết dưới dạng tọa độ là $(3, -4, 2)$, tương ứng với các thành phần i, j, k. Do đó, tọa độ của điểm M là (3, -4, 2). Vậy đáp án đúng là: C. (3; -4; 2) Câu 10. Để tìm tọa độ của vectơ $\vec{u} + 2\vec{v}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ của vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$: - Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ $(4, 2, -7)$. - Vectơ $\vec{v}$ có tọa độ $(-3, 2, 2)$. Bước 2: Nhân vectơ $\vec{v}$ với 2: - Tọa độ của $2\vec{v}$ sẽ là $2 \times (-3, 2, 2) = (-6, 4, 4)$. Bước 3: Cộng tọa độ của vectơ $\vec{u}$ và $2\vec{v}$: - Tọa độ của $\vec{u} + 2\vec{v}$ sẽ là $(4, 2, -7) + (-6, 4, 4) = (4 - 6, 2 + 4, -7 + 4) = (-2, 6, -3)$. Vậy tọa độ của vectơ $\vec{u} + 2\vec{v}$ là $(-2, 6, -3)$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(-2, 6, -3)$. Câu 11. Trước tiên, chúng ta cần xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Trung vị là giá trị nằm ở giữa của một dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Với 60 người được phỏng vấn, trung vị sẽ là giá trị trung bình của hai số ở vị trí thứ 30 và 31 trong dãy số đã sắp xếp. Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán để xác định trung vị. 1. Tìm tổng số lượng người trong mỗi nhóm: - Nhóm từ 0 đến 40 điểm: 5 người - Nhóm từ 40 đến 60 điểm: 15 người - Nhóm từ 60 đến 80 điểm: 20 người - Nhóm từ 80 đến 100 điểm: 20 người 2. Tính tổng số người đã phỏng vấn: - Tổng số người: 5 + 15 + 20 + 20 = 60 người 3. Xác định nhóm chứa trung vị: - Nhóm từ 0 đến 40 điểm: 5 người - Nhóm từ 40 đến 60 điểm: 15 người (tổng 20 người) - Nhóm từ 60 đến 80 điểm: 20 người (tổng 40 người) - Nhóm từ 80 đến 100 điểm: 20 người (tổng 60 người) Vì trung vị nằm ở vị trí thứ 30 và 31, nên trung vị sẽ nằm trong nhóm từ 60 đến 80 điểm. 4. Tính trung vị trong nhóm từ 60 đến 80 điểm: - Số người trong nhóm từ 60 đến 80 điểm: 20 người - Vị trí của trung vị trong nhóm này: (30 - 20) = 10 và (31 - 20) = 11 Do đó, trung vị nằm ở giữa hai giá trị ở vị trí thứ 10 và 11 trong nhóm từ 60 đến 80 điểm. 5. Tính giá trị trung vị: - Giá trị trung vị của nhóm từ 60 đến 80 điểm là: \[ \text{Trung vị} = \frac{60 + 80}{2} = 70 \] Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là 70. Đáp án đúng là: B. 70,8. Câu 12. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{n} \] Trong đó: - \(x_i\) là giá trị trung tâm của mỗi nhóm. - \(f_i\) là tần số của mỗi nhóm. - \(n\) là tổng số lượng mẫu. 2. Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Ta sẽ thực hiện từng bước cụ thể: Bước 1: Tính trung bình cộng \(\bar{x}\) Từ bảng dữ liệu, ta có: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x_i & f_i \\ \hline 10 & 2 \\ 15 & 5 \\ 20 & 10 \\ 25 & 12 \\ 30 & 8 \\ 35 & 3 \\ \hline \end{array} \] Tổng số lượng mẫu \(n\) là: \[ n = 2 + 5 + 10 + 12 + 8 + 3 = 40 \] Tính tổng \( \sum_{i=1}^{k} f_i x_i \): \[ \sum_{i=1}^{k} f_i x_i = (2 \times 10) + (5 \times 15) + (10 \times 20) + (12 \times 25) + (8 \times 30) + (3 \times 35) \] \[ = 20 + 75 + 200 + 300 + 240 + 105 = 940 \] Trung bình cộng \(\bar{x}\) là: \[ \bar{x} = \frac{940}{40} = 23.5 \] Bước 2: Tính phương sai \(s^2\) Tính \((x_i - \bar{x})^2\) và \(f_i (x_i - \bar{x})^2\) cho mỗi nhóm: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_i & f_i & (x_i - \bar{x})^2 & f_i (x_i - \bar{x})^2 \\ \hline 10 & 2 & (10 - 23.5)^2 = 182.25 & 2 \times 182.25 = 364.5 \\ 15 & 5 & (15 - 23.5)^2 = 72.25 & 5 \times 72.25 = 361.25 \\ 20 & 10 & (20 - 23.5)^2 = 12.25 & 10 \times 12.25 = 122.5 \\ 25 & 12 & (25 - 23.5)^2 = 2.25 & 12 \times 2.25 = 27 \\ 30 & 8 & (30 - 23.5)^2 = 42.25 & 8 \times 42.25 = 338 \\ 35 & 3 & (35 - 23.5)^2 = 132.25 & 3 \times 132.25 = 396.75 \\ \hline \end{array} \] Tổng \(\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2\) là: \[ 364.5 + 361.25 + 122.5 + 27 + 338 + 396.75 = 1610 \] Phương sai \(s^2\) là: \[ s^2 = \frac{1610}{40} = 40.25 \] Như vậy, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là 40.25. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có giá trị này. Do đó, có thể có lỗi trong việc tính toán hoặc dữ liệu đã cho không chính xác.