giúp với ạ

Câu 1. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần dựa vào đồ thị của đạo hàm \( y' = f'(x) \). Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên các khoảng mà đạo hàm \( f'(x) < 0 \). Trong đồ thị của đạo hàm \( y' = f'(x) \): - Khi \( f'(x) < 0 \), hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến. Ta thấy từ đồ thị: - Trên khoảng \( (-1; 3) \), giá trị của \( f'(x) \) là âm, tức là \( f'(x) < 0 \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1; 3) \). Vậy đáp án đúng là: \[ A.~(-1;3). \] Câu 2. Để xác định hàm số có một đường tiệm cận, ta cần kiểm tra các trường hợp sau: 1. Đường tiệm cận đứng: Xảy ra khi mẫu số bằng 0. 2. Đường tiệm cận ngang: Xảy ra khi giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \) tồn tại hữu hạn. Ta sẽ kiểm tra từng hàm số: A. \( y = \frac{x + 3}{2x - 1} \) - Đường tiệm cận đứng: \( 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \) - Đường tiệm cận ngang: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 3}{2x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{2} \] Vậy hàm số này có hai đường tiệm cận: \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \). B. \( y = \frac{x^2 + 3x - 2}{x + 3} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \) - Đường tiệm cận ngang: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x - 2}{x + 3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2})}{x(1 + \frac{3}{x})} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2})}{1 + \frac{3}{x}} = x \] Vậy hàm số này có một đường tiệm cận đứng \( x = -3 \) nhưng không có đường tiệm cận ngang. C. \( y = \frac{2x}{x^2 + 1} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \) (không có nghiệm thực) - Đường tiệm cận ngang: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x(1 + \frac{1}{x^2})} = 0 \] Vậy hàm số này có đường tiệm cận ngang \( y = 0 \) nhưng không có đường tiệm cận đứng. D. \( y = \frac{4}{x - 1} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) - Đường tiệm cận ngang: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x - 1} = 0 \] Vậy hàm số này có hai đường tiệm cận: \( x = 1 \) và \( y = 0 \). Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số B có một đường tiệm cận đứng duy nhất. Đáp án: B. \( y = \frac{x^2 + 3x - 2}{x + 3} \) Câu 3. Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \frac{3x-1}{x-3} \) trên đoạn \([0;2]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{(3)(x-3) - (3x-1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{3x - 9 - 3x + 1}{(x-3)^2} = \frac{-8}{(x-3)^2} \] 2. Xét dấu đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{-8}{(x-3)^2} < 0 \quad \text{với mọi } x \neq 3 \] Do đó, hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \((-\infty, 3)\). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn \([0;2]\): \[ f(0) = \frac{3(0) - 1}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] \[ f(2) = \frac{3(2) - 1}{2 - 3} = \frac{6 - 1}{-1} = \frac{5}{-1} = -5 \] 4. So sánh các giá trị để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Trên đoạn \([0;2]\), hàm số \( f(x) \) nghịch biến, do đó: - Giá trị lớn nhất \( M \) của hàm số là \( f(0) = \frac{1}{3} \) - Giá trị nhỏ nhất \( m \) của hàm số là \( f(2) = -5 \) 5. Tính \( 3M + m \): \[ 3M + m = 3 \left(\frac{1}{3}\right) + (-5) = 1 - 5 = -4 \] Vậy giá trị của \( 3M + m \) là \(-4\). Đáp án đúng là: B. -4.