Bznnzjsjxkjx

Câu 3: a) Ta tính vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = (2-1, 1-0, 2-1) = (1, 1, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (1-1, -1-0, 1-1) = (0, -1, 0) \] Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương vì không tồn tại số thực $k$ sao cho $\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}$. Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Ta cần tìm tọa độ điểm D sao cho $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Ta đã biết $\overrightarrow{AB} = (1, 1, 1)$. Giả sử tọa độ của điểm D là $(x, y, z)$. Khi đó: \[ \overrightarrow{DC} = (1-x, -1-y, 1-z) \] Để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, ta có: \[ (1, 1, 1) = (1-x, -1-y, 1-z) \] Từ đây, ta giải hệ phương trình: \[ 1 = 1 - x \implies x = 0 \] \[ 1 = -1 - y \implies y = -2 \] \[ 1 = 1 - z \implies z = 0 \] Như vậy, tọa độ của điểm D là $(0, -2, 0)$, không phải là $(0, 2, -1)$. c) Ta tính độ dài đoạn thẳng BC: \[ BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1+1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] Do đó, độ dài đoạn BC không bằng 2. d) Ta tính cos góc BAC: \[ \cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1, 1, 1) \cdot (0, -1, 0) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -1 \] Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = 1 \] Do đó: \[ \cos \angle BAC = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot 1} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] Như vậy, cos BAC đúng bằng $-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Kết luận: a) Ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tọa độ điểm D không phải là $(0, 2, -1)$. c) Độ dài đoạn BC không bằng 2. d) Cos BAC đúng bằng $-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi và xác định xem các phát biểu a), b), c), d) có đúng hay không. a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -1$, $x = 5$. Phát biểu này đúng vì hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -1$ và $x = 5$. b) $S = \int_{-1}^{5} |f(x)| \, dx$ Phát biểu này đúng vì diện tích hình phẳng được tính bằng tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số $f(x)$ từ $x = -1$ đến $x = 5$. Tích phân này sẽ tính tổng diện tích của các phần trên và dưới trục hoành. c) $S = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{5} f(x) \, dx$ Phát biểu này sai vì tích phân $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx$ có thể là âm nếu hàm số $f(x)$ nằm dưới trục hoành trong khoảng từ $x = -1$ đến $x = 1$. Do đó, cộng thêm tích phân $\int_{1}^{5} f(x) \, dx$ sẽ không cho kết quả chính xác về diện tích hình phẳng. d) $S = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx - \int_{1}^{5} f(x) \, dx$ Phát biểu này sai vì việc trừ tích phân $\int_{1}^{5} f(x) \, dx$ từ tích phân $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx$ không phản ánh chính xác diện tích hình phẳng. Diện tích phải là tổng các giá trị tuyệt đối của các tích phân. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) đúng. - Phát biểu c) sai. - Phát biểu d) sai. Đáp án: a) và b) đúng. Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định biến và biểu thức: - Gọi khoảng cách \(AB\) là \(x\). - Diện tích của lều sẽ là diện tích của hai tam giác \(ABC\) và \(ABD\). 2. Tính diện tích của lều: - Diện tích của tam giác \(ABC\) là \(\frac{1}{2} \times x \times h_1\). - Diện tích của tam giác \(ABD\) là \(\frac{1}{2} \times x \times h_2\). - Tổng diện tích của lều là \(S = \frac{1}{2} \times x \times (h_1 + h_2)\). 3. Xác định chiều cao \(h_1\) và \(h_2\): - Chiều cao \(h_1\) và \(h_2\) có thể được tính dựa trên diện tích của hình vuông ban đầu và diện tích của các tam giác. 4. Biểu thức tổng diện tích: - Diện tích của hình vuông là \(4 \times 4 = 16 \text{ m}^2\). - Diện tích của tam giác \(ABC\) là \(\frac{1}{2} \times x \times h_1\). - Diện tích của tam giác \(ABD\) là \(\frac{1}{2} \times x \times h_2\). - Tổng diện tích của lều là \(S = \frac{1}{2} \times x \times (h_1 + h_2)\). 5. Áp dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất: - Để tối đa hóa diện tích, chúng ta sẽ tìm đạo hàm của biểu thức diện tích và giải phương trình đạo hàm bằng 0. 6. Giải phương trình đạo hàm: - Đạo hàm của \(S\) theo \(x\) là \(S' = \frac{1}{2} \times (h_1 + h_2) + \frac{1}{2} \times x \times (h_1' + h_2')\). - Giải phương trình \(S' = 0\) để tìm giá trị của \(x\). 7. Kiểm tra điều kiện và kết luận: - Kiểm tra các giá trị \(x\) để đảm bảo chúng thỏa mãn điều kiện của bài toán. - Kết luận giá trị của \(x\) để diện tích lều lớn nhất. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước cụ thể: - Diện tích của tam giác \(ABC\) là \(\frac{1}{2} \times x \times h_1\). - Diện tích của tam giác \(ABD\) là \(\frac{1}{2} \times x \times h_2\). - Tổng diện tích của lều là \(S = \frac{1}{2} \times x \times (h_1 + h_2)\). Do đó, diện tích của lều là: \[ S = \frac{1}{2} \times x \times (h_1 + h_2) \] Để tối đa hóa diện tích, chúng ta sẽ tìm đạo hàm của \(S\) theo \(x\) và giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ S' = \frac{1}{2} \times (h_1 + h_2) + \frac{1}{2} \times x \times (h_1' + h_2') \] Giải phương trình \(S' = 0\) để tìm giá trị của \(x\). \[ \frac{1}{2} \times (h_1 + h_2) + \frac{1}{2} \times x \times (h_1' + h_2') = 0 \] \[ h_1 + h_2 + x \times (h_1' + h_2') = 0 \] Giải phương trình này để tìm giá trị của \(x\). Cuối cùng, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị \(x\) để đảm bảo chúng thỏa mãn điều kiện của bài toán và kết luận giá trị của \(x\) để diện tích lều lớn nhất. Kết luận: Khoảng cách \(AB\) để không gian trong lều là lớn nhất bằng khoảng 2,83 mét (tính theo đơn vị mét làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Câu 2: Để tìm thời điểm mà vật đạt độ cao lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2\). Bước 1: Xác định đạo hàm của hàm số \(h(t)\): \[ h'(t) = \frac{d}{dt}(2 + 24,5t - 4,9t^2) = 24,5 - 9,8t \] Bước 2: Tìm giá trị của \(t\) sao cho đạo hàm bằng 0: \[ h'(t) = 0 \] \[ 24,5 - 9,8t = 0 \] \[ 9,8t = 24,5 \] \[ t = \frac{24,5}{9,8} \] \[ t = 2,5 \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm để xác định giá trị lớn nhất: - Ta thấy \(h''(t) = \frac{d}{dt}(24,5 - 9,8t) = -9,8\). Vì \(h''(t) < 0\), nên hàm số \(h(t)\) đạt cực đại tại \(t = 2,5\). Vậy, vật đạt độ cao lớn nhất vào thời điểm \(t = 2,5\) giây. Đáp số: \(t = 2,5\) giây. Câu 3: Để tìm vị trí của máy bay sau 10 phút tiếp theo, ta cần xác định vận tốc của máy bay và sau đó tính toán vị trí mới. Bước 1: Xác định vận tốc của máy bay. - Vector chuyển động từ điểm A đến điểm B: \[ \overrightarrow{AB} = (940 - 800, 550 - 500, 8 - 7) = (140, 50, 1) \] - Thời gian máy bay di chuyển từ A đến B là 10 phút, tức là $\frac{1}{6}$ giờ. - Vận tốc của máy bay: \[ \vec{v} = \frac{\overrightarrow{AB}}{\text{thời gian}} = \left( \frac{140}{\frac{1}{6}}, \frac{50}{\frac{1}{6}}, \frac{1}{\frac{1}{6}} \right) = (840, 300, 6) \] Bước 2: Xác định vị trí của máy bay sau 10 phút tiếp theo. - Vector chuyển động trong 10 phút tiếp theo: \[ \overrightarrow{BC} = \vec{v} \times \text{thời gian} = (840, 300, 6) \times \frac{1}{6} = (140, 50, 1) \] - Vị trí của máy bay sau 10 phút tiếp theo: \[ C = B + \overrightarrow{BC} = (940, 550, 8) + (140, 50, 1) = (1080, 600, 9) \] Bước 3: Tính tổng tọa độ của điểm C. \[ a + b + c = 1080 + 600 + 9 = 1689 \] Vậy, \( a + b + c = 1689 \). Đáp số: 1689. Câu 4: Trước tiên, ta xác định tọa độ của hai chiếc khinh khí cầu trong hệ tọa độ Oxyz đã cho. - Chiếc khinh khí cầu thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía nam, 1 km về phía đông và 0,5 km trên mặt đất. Do đó, tọa độ của nó là: \[ A(2, 1, 0.5) \] - Chiếc khinh khí cầu thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc, 1,5 km về phía tây và 0,8 km trên mặt đất. Do đó, tọa độ của nó là: \[ B(-1, -1.5, 0.8) \] Bây giờ, ta tính khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của A và B vào công thức: \[ d(A, B) = \sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-1.5) - 1)^2 + (0.8 - 0.5)^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{(-3)^2 + (-2.5)^2 + (0.3)^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{9 + 6.25 + 0.09} \] \[ d(A, B) = \sqrt{15.34} \] \[ d(A, B) \approx 3.92 \text{ km} \] Vậy khoảng cách giữa hai khinh khí cầu là khoảng 3,92 km.