tính tích phân bất định

Câu 1. Để tính tích phân bất định \( I = \int \frac{e^{2x}}{e^x + 1} \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt \( u = e^x \). Khi đó, \( du = e^x \, dx \). Bước 2: Thay đổi biến trong tích phân: \[ I = \int \frac{u^2}{u + 1} \cdot \frac{du}{u} = \int \frac{u}{u + 1} \, du \] Bước 3: Phân tích phân thức: \[ \frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1} \] Bước 4: Tích phân từng phần: \[ I = \int \left( 1 - \frac{1}{u + 1} \right) \, du = \int 1 \, du - \int \frac{1}{u + 1} \, du \] Bước 5: Tính các tích phân riêng lẻ: \[ \int 1 \, du = u \] \[ \int \frac{1}{u + 1} \, du = \ln |u + 1| \] Bước 6: Kết hợp lại: \[ I = u - \ln |u + 1| + C \] Bước 7: Quay trở lại biến ban đầu \( u = e^x \): \[ I = e^x - \ln |e^x + 1| + C \] Vậy, tích phân bất định là: \[ I = e^x - \ln |e^x + 1| + C \]