Giúp minh vs a

Câu 1. Để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{2024x + 2025}{x - 5} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2024x + 2025}{x - 5} \] 2. Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2024 + \frac{2025}{x}}{1 - \frac{5}{x}} \] 3. Tính giới hạn của các phân số trong tử và mẫu: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2024 + \frac{2025}{x}}{1 - \frac{5}{x}} = \frac{2024 + 0}{1 - 0} = 2024 \] Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{2024x + 2025}{x - 5} \) là \( y = 2024 \). Đáp án đúng là: D. \( y = 2024 \). Câu 2. Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \left( \frac{x - 2}{x + 1} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x - 2)'(x + 1) - (x - 2)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(1)(x + 1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{3}{(x + 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm. \[ y' = \frac{3}{(x + 1)^2} \] Ta thấy rằng $(x + 1)^2$ luôn dương với mọi $x \neq -1$. Do đó, $y'$ luôn dương với mọi $x \neq -1$. Bước 3: Kết luận tính chất đồng biến/nghịch biến của hàm số. - Vì $y' > 0$ với mọi $x \neq -1$, nên hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ là hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -1)$ và $(-1, +\infty)$. Do đó, mệnh đề đúng là: B. Hàm số đồng biến trên $(-\infty, -1)$ Đáp án: B. Hàm số đồng biến trên $(-\infty, -1)$. Câu 3. Để xác định đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với các đặc điểm của đồ thị. A. \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \) B. \( y = -x^2 - 4 \) C. \( y = x^3 - 4 \) D. \( y = x^2 - 4 \) Trước tiên, chúng ta cần nhận biết các đặc điểm của đồ thị: - Đồ thị có dạng cong và có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số: 1. Hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \): - Đây là một hàm bậc ba, có thể có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Khi \( x = 0 \), \( y = -4 \). Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). 2. Hàm số \( y = -x^2 - 4 \): - Đây là một hàm bậc hai, có dạng parabol mở xuống. - Khi \( x = 0 \), \( y = -4 \). Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). - Tuy nhiên, đồ thị này không có điểm cực đại và cực tiểu như trong hình. 3. Hàm số \( y = x^3 - 4 \): - Đây là một hàm bậc ba, có thể có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Khi \( x = 0 \), \( y = -4 \). Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). 4. Hàm số \( y = x^2 - 4 \): - Đây là một hàm bậc hai, có dạng parabol mở lên. - Khi \( x = 0 \), \( y = -4 \). Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). - Tuy nhiên, đồ thị này không có điểm cực đại và cực tiểu như trong hình. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng chỉ có hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \) và \( y = x^3 - 4 \) có thể có dạng đồ thị như trong hình. Tuy nhiên, vì đồ thị có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, và cắt trục y tại điểm (0, -4), nên hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \) là đúng. Vậy đáp án đúng là: A. \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \) Câu 4. Để tam giác MNP vuông tại N, ta cần chứng minh rằng hai vectơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{NP}$ vuông góc với nhau, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0. Bước 1: Tính các vectơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{NP}$: \[ \overrightarrow{NM} = M - N = (2 - (-1); 3 - 1; -1 - 1) = (3; 2; -2) \] \[ \overrightarrow{NP} = P - N = (1 - (-1); (m-1) - 1; 2 - 1) = (2; m-2; 1) \] Bước 2: Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{NP}$: \[ \overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NP} = (3; 2; -2) \cdot (2; m-2; 1) = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (m-2) + (-2) \cdot 1 \] \[ = 6 + 2(m-2) - 2 \] \[ = 6 + 2m - 4 - 2 \] \[ = 2m \] Bước 3: Để tam giác MNP vuông tại N, tích vô hướng này phải bằng 0: \[ 2m = 0 \] \[ m = 0 \] Vậy đáp án đúng là: A. $m = 0$ Đáp số: $m = 0$. Câu 5. Để MNPQ là hình bình hành, ta cần tìm tọa độ điểm Q sao cho các vectơ đối diện bằng nhau. Cụ thể, ta cần: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ} \] Bước 1: Tính vectơ MN. \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (0 - 2, -3 - 0, 0 - 0) = (-2, -3, 0) \] Bước 2: Gọi tọa độ của điểm Q là $(x, y, z)$. \[ \overrightarrow{PQ} = Q - P = (x - 0, y - 0, z - 4) = (x, y, z - 4) \] Bước 3: Đặt $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}$. \[ (-2, -3, 0) = (x, y, z - 4) \] Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm tọa độ của Q. \[ \begin{cases} x = -2 \\ y = -3 \\ z - 4 = 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x = -2 \\ y = -3 \\ z = 4 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm Q là $(-2, -3, 4)$. Đáp án đúng là: A. $Q(-2, -3, 4)$. Câu 6. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm A từ tọa độ của điểm B. Tọa độ của điểm A là $(-1; 2; -3)$ và tọa độ của điểm B là $(2; -1; 0)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \] Thay tọa độ của A và B vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - (-1), -1 - 2, 0 - (-3)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (2 + 1, -1 - 2, 0 + 3) \] \[ \overrightarrow{AB} = (3, -3, 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(3; -3; 3)$. Đáp án đúng là: D. $(3; -3; 3)$. Câu 7. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([0; 3]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cực trị của hàm số trên đoạn \([0; 3]\): - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số \( y = f(x) \) có các điểm cực trị tại \( x = 1 \) và \( x = 2 \). 2. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn \([0; 3]\): - Tại \( x = 0 \): \( f(0) = 2 \) - Tại \( x = 1 \): \( f(1) = 0 \) - Tại \( x = 2 \): \( f(2) = 1 \) - Tại \( x = 3 \): \( f(3) = 2 \) 3. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(0) = 2 \) - \( f(1) = 0 \) - \( f(2) = 1 \) - \( f(3) = 2 \) Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là \( f(1) = 0 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([0; 3]\) là \( 0 \), đạt được khi \( x = 1 \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( 0 \), đạt được khi \( x = 1 \).