giải giúp với

Câu20: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa thời gian bằng cách sử dụng đạo hàm. Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan: - Khoảng cách từ A đến O là 2 km. - Khoảng cách từ O đến B là 4 km. - Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h. - Vận tốc chạy bộ là 10 km/h. Bước 2: Gọi khoảng cách từ O đến điểm C (điểm mà anh Tư lên bờ) là \( x \) km. - Khoảng cách từ A đến C là \( \sqrt{x^2 + 2^2} = \sqrt{x^2 + 4} \) km. - Khoảng cách từ C đến B là \( 4 - x \) km. Bước 3: Tính thời gian chèo thuyền và thời gian chạy bộ: - Thời gian chèo thuyền từ A đến C là \( \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{6} \) giờ. - Thời gian chạy bộ từ C đến B là \( \frac{4 - x}{10} \) giờ. Bước 4: Tổng thời gian là: \[ T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{6} + \frac{4 - x}{10} \] Bước 5: Tìm giá trị \( x \) sao cho tổng thời gian \( T(x) \) là nhỏ nhất bằng cách tính đạo hàm và tìm điểm cực tiểu: \[ T'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{6} + \frac{4 - x}{10} \right) \] \[ T'(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} - \frac{1}{10} \] Đặt \( T'(x) = 0 \): \[ \frac{x}{6\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{1}{10} \] \[ 10x = 6\sqrt{x^2 + 4} \] \[ 5x = 3\sqrt{x^2 + 4} \] \[ 25x^2 = 9(x^2 + 4) \] \[ 25x^2 = 9x^2 + 36 \] \[ 16x^2 = 36 \] \[ x^2 = \frac{36}{16} \] \[ x = \frac{6}{4} = 1.5 \] Bước 6: Thay \( x = 1.5 \) vào công thức thời gian: \[ T(1.5) = \frac{\sqrt{(1.5)^2 + 4}}{6} + \frac{4 - 1.5}{10} \] \[ T(1.5) = \frac{\sqrt{2.25 + 4}}{6} + \frac{2.5}{10} \] \[ T(1.5) = \frac{\sqrt{6.25}}{6} + 0.25 \] \[ T(1.5) = \frac{2.5}{6} + 0.25 \] \[ T(1.5) = 0.4167 + 0.25 \] \[ T(1.5) = 0.6667 \text{ giờ} \] Bước 7: Chuyển đổi thời gian từ giờ sang phút: \[ 0.6667 \text{ giờ} = 0.6667 \times 60 \approx 40 \text{ phút} \] Vậy, khoảng thời gian ngắn nhất để anh Tư đi từ vị trí xuất phát đến được điểm B là 40 phút. Câu 21: Để tìm vận tốc tối đa của thầy Toán trong quá trình đi bộ, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( s(t) \): Hàm số quãng đường \( s(t) = at^3 + bt^2 + ct + d \). Đạo hàm của \( s(t) \) là: \[ v(t) = s'(t) = 3at^2 + 2bt + c \] 2. Tìm điểm cực đại của đạo hàm \( v(t) \): Để tìm vận tốc tối đa, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số \( v(t) \). Ta làm như sau: - Tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = 6at + 2b \] - Giải phương trình \( v'(t) = 0 \): \[ 6at + 2b = 0 \implies t = -\frac{b}{3a} \] 3. Kiểm tra điều kiện để \( t = -\frac{b}{3a} \) là điểm cực đại: - Ta kiểm tra dấu của \( v''(t) \): \[ v''(t) = 6a \] - Vì \( a \neq 0 \), ta có hai trường hợp: - Nếu \( a > 0 \), thì \( v''(t) > 0 \), tức là \( t = -\frac{b}{3a} \) là điểm cực tiểu. - Nếu \( a < 0 \), thì \( v''(t) < 0 \), tức là \( t = -\frac{b}{3a} \) là điểm cực đại. Do đó, ta cần \( a < 0 \) để \( t = -\frac{b}{3a} \) là điểm cực đại. 4. Tính vận tốc tại điểm cực đại: Thay \( t = -\frac{b}{3a} \) vào \( v(t) \): \[ v\left(-\frac{b}{3a}\right) = 3a\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 + 2b\left(-\frac{b}{3a}\right) + c \] \[ = 3a \cdot \frac{b^2}{9a^2} - \frac{2b^2}{3a} + c \] \[ = \frac{b^2}{3a} - \frac{2b^2}{3a} + c \] \[ = -\frac{b^2}{3a} + c \] Do đó, vận tốc tối đa của thầy Toán trong quá trình đi bộ là: \[ -\frac{b^2}{3a} + c \text{ (km/h)} \] Đáp số: Vận tốc tối đa của thầy Toán là \( -\frac{b^2}{3a} + c \) km/h. Câu 22. Để tính khối lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng lực mà các sợi dây có thể chịu đựng: Mỗi sợi dây chịu không quá 15 N. Vì có 3 sợi dây, tổng lực mà các sợi dây có thể chịu đựng là: \[ F_{\text{tổng}} = 3 \times 15 = 45 \text{ N} \] 2. Xác định trọng lượng của miếng giá gỗ: Trọng lượng của miếng giá gỗ là 5 N. 3. Xác định trọng lượng tối đa của các chậu hoa: Tổng lực mà các sợi dây có thể chịu đựng bao gồm cả trọng lượng của miếng giá gỗ và các chậu hoa. Do đó, trọng lượng tối đa của các chậu hoa là: \[ W_{\text{hoa}} = F_{\text{tổng}} - W_{\text{gỗ}} = 45 - 5 = 40 \text{ N} \] 4. Chuyển đổi trọng lượng sang khối lượng: Trọng lượng \(W\) liên quan đến khối lượng \(m\) thông qua công thức \(W = m \times g\), trong đó \(g\) là gia tốc do hấp dẫn (khoảng 9.8 m/s²). Khối lượng tối đa của các chậu hoa là: \[ m_{\text{hoa}} = \frac{W_{\text{hoa}}}{g} = \frac{40}{9.8} \approx 4.08 \text{ kg} \] Vậy khối lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt là khoảng 4.08 kg.