giải hộ mình bài này nhé

Bài 5 Để tìm các giá trị \( x \) và \( y \) nguyên dương sao cho \( x^2 = y^2 + 12y + 13 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét phương trình \( x^2 = y^2 + 12y + 13 \). Bước 2: Ta nhận thấy rằng \( y^2 + 12y + 13 \) có thể được viết dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh. Ta thử biến đổi như sau: \[ y^2 + 12y + 13 = (y + 6)^2 - 36 + 13 = (y + 6)^2 - 23. \] Do đó, phương trình trở thành: \[ x^2 = (y + 6)^2 - 23. \] Bước 3: Để \( x^2 \) là số chính phương, \( (y + 6)^2 - 23 \) cũng phải là số chính phương. Gọi \( z = y + 6 \), ta có: \[ x^2 = z^2 - 23. \] Bước 4: Ta cần tìm các giá trị \( z \) sao cho \( z^2 - 23 \) là số chính phương. Gọi \( k^2 = z^2 - 23 \), ta có: \[ z^2 - k^2 = 23. \] Bước 5: Phương trình này có dạng hiệu hai bình phương, ta có thể viết lại như sau: \[ (z - k)(z + k) = 23. \] Bước 6: Ta xét các trường hợp phân tích 23 thành tích của hai số nguyên: - \( z - k = 1 \) và \( z + k = 23 \) - \( z - k = -1 \) và \( z + k = -23 \) Ta chỉ xét trường hợp đầu tiên vì \( z \) và \( k \) đều là số nguyên dương: \[ z - k = 1 \] \[ z + k = 23 \] Bước 7: Giải hệ phương trình này: \[ z - k = 1 \] \[ z + k = 23 \] Cộng hai phương trình: \[ 2z = 24 \] \[ z = 12 \] Thay \( z = 12 \) vào \( z - k = 1 \): \[ 12 - k = 1 \] \[ k = 11 \] Bước 8: Ta có \( z = 12 \) và \( k = 11 \). Do đó: \[ y + 6 = 12 \] \[ y = 6 \] Bước 9: Thay \( y = 6 \) vào phương trình ban đầu: \[ x^2 = 6^2 + 12 \cdot 6 + 13 \] \[ x^2 = 36 + 72 + 13 \] \[ x^2 = 121 \] \[ x = 11 \] Vậy các giá trị \( x \) và \( y \) nguyên dương thỏa mãn phương trình là: \[ x = 11 \] \[ y = 6 \] Đáp số: \( x = 11 \), \( y = 6 \).