Cho ABC vuông tại A (AB< AC ) và M là trung điểm BC. Từ M vẽ MD AB ⊥ tại D và ME AC ⊥ tại E. a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật. b) Trên tia EM lấy điểm F sao cho M là trung điểm EF. Chứng mi...

a) Ta có: - $\triangle ABC$ vuông tại A, M là trung điểm BC nên AM = BM = CM (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) - MD $\perp$ AB và ME $\perp$ AC nên $\angle ADM = \angle AEM = 90^\circ$ - Vì AM = BM = CM nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$. Do đó, $\angle DAM = \angle EAM$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) - Kết hợp với $\angle ADM = \angle AEM = 90^\circ$, ta có $\triangle ADM \cong \triangle AEM$ (cạnh huyền - góc nhọn) - Từ đó, AD = AE và $\angle MAD = \angle MAE$ - Vì $\angle MAD = \angle MAE$ và $\angle DAM = \angle EAM = 90^\circ$, nên $\angle DAE = 90^\circ$ - Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) b) Ta có: - M là trung điểm EF nên ME = MF - Ta đã chứng minh $\triangle ADM \cong \triangle AEM$, do đó MD = ME - Kết hợp với ME = MF, ta có MD = ME = MF - Vì M là trung điểm BC và MD $\perp$ AB, ME $\perp$ AC nên MD = ME (tính chất đường cao hạ từ đỉnh vuông góc xuống cạnh huyền) - Từ đó, MD = ME = MF - Ta có $\angle DME = \angle EMF = 90^\circ$ (vì M là trung điểm EF và ME $\perp$ AC) - Vậy $\triangle DME \cong \triangle EMF$ (cạnh huyền - góc nhọn) - Từ đó, DE = EF và $\angle DEM = \angle FEM$ - Vì DE = EF và $\angle DEM = \angle FEM$, nên tứ giác BFCE là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau) - Vì tứ giác BFCE là hình bình hành, nên BE // CF c) Ta có: - Tia DM cắt BE và CF lần lượt tại I và K - Vì tứ giác BFCE là hình bình hành, nên BE // CF - Ta có $\angle IDM = \angle IKM$ (hai góc so le trong) - Vì $\angle IDM = \angle IKM$, nên tứ giác EIFK là hình thoi (hai đường chéo vuông góc và chia đôi nhau) - Vậy tứ giác EIFK là hình thoi.