giải toán3

Câu 1. a) Xét dấu của đạo hàm $y'=\frac{-5}{(x-1)^2}< 0$ trên $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty).$ Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty).$ b) Ta có $\lim_{x\to +\infty} y = 2$ và $\lim_{x\to -\infty} y = 2$. Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) là đường thẳng $y=2.$ c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) là đường thẳng $x=1$. Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận là $I(1;2).$ d) Ta có $y=\frac{2x+3}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$. Trên đoạn $[2,5]$, hàm số $y=\frac{5}{x-1}$ nghịch biến nên Max $y=\frac{5}{2-1}=5$. Vậy Max $y=2+5=7$. Câu 2. Trước tiên, ta xác định tọa độ các điểm trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D': - Điểm A trùng với gốc tọa độ O, do đó tọa độ của A là (0, 0, 0). - Điểm B nằm trên đường thẳng AB, do đó tọa độ của B là (8, 0, 0). - Điểm D nằm trên đường thẳng AD, do đó tọa độ của D là (0, 6, 0). - Điểm A' nằm trên đường thẳng AA', do đó tọa độ của A' là (0, 0, 5). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ - Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là (8, 0, 0). - Tọa độ của $\overrightarrow{AD}$ là (0, 6, 0). - Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (8, 0, 0) + (0, 6, 0) = (8, 6, 0)$. - Tọa độ của C là (8, 6, 0), do đó $\overrightarrow{AC} = (8, 6, 0)$. Phát biểu này đúng. b) $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{A'D'} = 0$ - Tọa độ của C là (8, 6, 0). - Tọa độ của D là (0, 6, 0). - Do đó, $\overrightarrow{CD} = (0 - 8, 6 - 6, 0 - 0) = (-8, 0, 0)$. - Tọa độ của A' là (0, 0, 5). - Tọa độ của D' là (0, 6, 5). - Do đó, $\overrightarrow{A'D'} = (0 - 0, 6 - 0, 5 - 5) = (0, 6, 0)$. - Tích vô hướng $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{A'D'} = (-8) \cdot 0 + 0 \cdot 6 + 0 \cdot 0 = 0$. Phát biểu này đúng. c) Tọa độ của $\overrightarrow{AD'} = (0, 8, 5)$ - Tọa độ của A là (0, 0, 0). - Tọa độ của D' là (0, 6, 5). - Do đó, $\overrightarrow{AD'} = (0 - 0, 6 - 0, 5 - 0) = (0, 6, 5)$. Phát biểu này sai. d) Gọi M là trung điểm của CD, tọa độ của M là (6, 4, 5) - Tọa độ của C là (8, 6, 0). - Tọa độ của D là (0, 6, 0). - Tọa độ của trung điểm M là $\left(\frac{8 + 0}{2}, \frac{6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (4, 6, 0)$. Phát biểu này sai. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) đúng. - Phát biểu c) sai. - Phát biểu d) sai. Câu 1. Để tính giá trị của biểu thức \( P = 2x_1 - 2x_2 \), chúng ta cần biết giá trị của \( x_1 \) và \( x_2 \). Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp thông tin về \( x_1 \) và \( x_2 \). Do đó, chúng ta cần thêm thông tin hoặc giả sử để tiếp tục giải bài toán này. Giả sử \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \). Theo công thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \] Bây giờ, ta sẽ tính \( P = 2x_1 - 2x_2 \): \[ P = 2(x_1 - x_2) \] Để tính \( x_1 - x_2 \), ta sử dụng công thức: \[ x_1 - x_2 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} \] Thay vào các giá trị từ công thức Viète: \[ x_1 - x_2 = \sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4 \cdot \frac{c}{a}} \] \[ x_1 - x_2 = \sqrt{\frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a}} \] \[ x_1 - x_2 = \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{a^2}} \] \[ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} \] Do đó: \[ P = 2 \left( \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} \right) \] \[ P = \frac{2\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = \frac{2\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} \] Câu 2. Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{-3x^2 + x + 27}{3 - x} \), ta thực hiện phép chia đa thức. Ta có: \[ y = \frac{-3x^2 + x + 27}{3 - x} \] Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|rr} & -3x & -8 \\ \hline 3-x & -3x^2 & +x & +27 \\ & -3x^2 & +9x & \\ \hline & & -8x & +27 \\ & & -8x & +24 \\ \hline & & & 3 \\ \end{array} \] Như vậy: \[ \frac{-3x^2 + x + 27}{3 - x} = -3x - 8 + \frac{3}{3 - x} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), phần dư \(\frac{3}{3 - x}\) sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = -3x - 8 \] Từ đây, ta thấy rằng \( a = -3 \) và \( b = -8 \). Bây giờ, ta tính \( a - 2b \): \[ a - 2b = -3 - 2(-8) = -3 + 16 = 13 \] Vậy đáp số là: \[ \boxed{13} \] Câu 3. Để tìm tọa độ của điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AC, ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng trong không gian. Tọa độ của điểm M là: \[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) \] Thay tọa độ của điểm A và C vào công thức trên: \[ M = \left( \frac{-9 + 27}{2}, \frac{-3 + 15}{2}, \frac{-7 + 27}{2} \right) \] \[ M = \left( \frac{18}{2}, \frac{12}{2}, \frac{20}{2} \right) \] \[ M = (9, 6, 10) \] Vậy tọa độ của điểm M là \( (9, 6, 10) \). Bây giờ, ta tính tổng \( a + b + c \): \[ a + b + c = 9 + 6 + 10 = 25 \] Đáp số: \( a + b + c = 25 \) Câu 4. Để tìm khoảng phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng nhân viên: Tổng số nhân viên = 3 + 1 + 13 + 15 + 12 + 7 = 41 2. Xác định các phân vị: - Phân vị thứ nhất (P1) ứng với 25% của tổng số lượng nhân viên. - Phân vị thứ hai (P2) ứng với 50% của tổng số lượng nhân viên. - Phân vị thứ ba (P3) ứng với 75% của tổng số lượng nhân viên. 3. Tính các giá trị phân vị: - P1 = 0.25 × 41 ≈ 10.25 - P2 = 0.50 × 41 ≈ 20.5 - P3 = 0.75 × 41 ≈ 30.75 4. Xác định khoảng phân vị: - Phân vị thứ nhất (P1): - Tính tổng dãy số nhân viên từ dưới lên: - [8; 12): 3 nhân viên - [12; 16): 3 + 1 = 4 nhân viên - [16; 20): 4 + 13 = 17 nhân viên - Vì 10.25 nằm trong khoảng từ 4 đến 17, nên P1 thuộc khoảng [12; 20). - Phân vị thứ hai (P2): - Tính tổng dãy số nhân viên từ dưới lên: - [8; 12): 3 nhân viên - [12; 16): 3 + 1 = 4 nhân viên - [16; 20): 4 + 13 = 17 nhân viên - [20; 24): 17 + 15 = 32 nhân viên - Vì 20.5 nằm trong khoảng từ 17 đến 32, nên P2 thuộc khoảng [16; 24). - Phân vị thứ ba (P3): - Tính tổng dãy số nhân viên từ dưới lên: - [8; 12): 3 nhân viên - [12; 16): 3 + 1 = 4 nhân viên - [16; 20): 4 + 13 = 17 nhân viên - [20; 24): 17 + 15 = 32 nhân viên - [24; 28): 32 + 12 = 44 nhân viên - Vì 30.75 nằm trong khoảng từ 32 đến 44, nên P3 thuộc khoảng [20; 28). Kết luận: - Phân vị thứ nhất (P1) thuộc khoảng [12; 20) - Phân vị thứ hai (P2) thuộc khoảng [16; 24) - Phân vị thứ ba (P3) thuộc khoảng [20; 28) Đáp số: - P1: [12; 20) - P2: [16; 24) - P3: [20; 28)