Tính chất đường phân giác trong tam giác

Tính chất đường phân giác trong tam giác
Đường phân giác của một góc trong tam giác là tia phân giác của góc đó và chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề.

Định lý:
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Hình minh họa:
Mở trong cửa sổ mới
www.youtube.com
Đường phân giác trong tam giác

Trong hình vẽ trên, AD là đường phân giác của góc BAC trong tam giác ABC. Theo định lý, ta có:

BD/DC = AB/AC
Ứng dụng của tính chất đường phân giác
Tính chất đường phân giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tính toán độ dài các đoạn thẳng trong tam giác.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, AD là đường phân giác của góc BAC. Tính BD và DC.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

BD/DC = AB/AC

=> BD/DC = 6/8 = 3/4

Đặt BD = 3x, DC = 4x.

Theo định lý Pytago trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100

=> BC = 10cm

Ta có: BD + DC = BC

=> 3x + 4x = 10

=> 7x = 10

=> x ≈ 1,43

Vậy BD ≈ 3x ≈ 4,29cm và DC ≈ 4x ≈ 5,71cm.

Chứng minh định lý (nâng cao)
Để chứng minh định lý này, ta có thể sử dụng các kiến thức về tam giác đồng dạng.
Mở trong cửa sổ mới
toanhoc77.wordpress.com
Chứng minh tính chất đường phân giác trong tam giác

Vẽ đường thẳng qua C song song với AD cắt AB tại E.
Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng: ΔABD ~ ΔEBC (g.g)
Từ đó suy ra tỉ lệ: BD/DC = AB/AC