Giúp tớ vs

Câu 15. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề (a) Hàm số có tập xác định là $D=\mathbb R\setminus\{2\}$. Lập luận: - Hàm số $y=\frac{x^2-x+1}{x-2}$ có mẫu số là $x-2$. - Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0, tức là $x \neq 2$. - Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb R\setminus\{2\}$. Kết luận: Đúng. Mệnh đề (b) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=2-\sqrt{3}$. Lập luận: - Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{x^2 - x + 1}{x - 2}\right)' = \frac{(2x - 1)(x - 2) - (x^2 - x + 1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x + 2 - x^2 + x - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x - 2)^2} \] - Đặt $y' = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ x^2 - 4x + 1 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \] - Vậy các điểm cực trị là $x = 2 + \sqrt{3}$ và $x = 2 - \sqrt{3}$. - Để xác định tính chất cực đại hoặc cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm ở các khoảng: - Khi $x < 2 - \sqrt{3}$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến). - Khi $2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến). - Khi $x > 2 + \sqrt{3}$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến). Từ đó suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = 2 - \sqrt{3}$. Kết luận: Đúng. Mệnh đề (c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Lập luận: - Ta đã biết từ phần trên rằng hàm số nghịch biến trên khoảng $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$. - Vì $2 - \sqrt{3} \approx 0.268$ và $2 + \sqrt{3} \approx 3.732$, nên khoảng $(0;2)$ nằm trong khoảng $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$. Kết luận: Đúng. Mệnh đề (d) Hai đường tiệm cận của (C) tạo với trục Ox một tam giác có diện tích bằng 4,5 (đvdt). Lập luận: - Đường tiệm cận đứng của hàm số là $x = 2$ (do mẫu số $x - 2$). - Đường tiệm cận斜渐近线为： \[ y = x + 1 \] 因为当 \( x \to \infty \) 时，\( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 2} \approx x + 1 \)。 - 这两条渐近线与x轴形成的三角形顶点为：(2, 0)，(2, 3)，(0, 1)。 - 计算三角形面积： \[ S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \] 结论: 错。 综上所述，各命题的正确性如下： | 命题 | 正确 | 错误 | |------|------|------| | (a) | √ | | | (b) | √ | | | (c) | √ | | | (d) | | √ |