giải bài toán

Câu 1: a) Giải phương trình $\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{16}{x^2-1}$ Điều kiện xác định: $x \neq \pm 1$. Quy đồng mẫu số và thực hiện phép trừ: $\frac{(x-1)^2-(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{16}{x^2-1}$ $\frac{x^2 - 2x + 1 - (x^2 + 2x + 1)}{x^2-1} = \frac{16}{x^2-1}$ $\frac{-4x}{x^2-1} = \frac{16}{x^2-1}$ Phân số này bằng nhau khi tử số của chúng bằng nhau: $-4x = 16$ $x = -4$ Kiểm tra lại điều kiện xác định: $x = -4$ thỏa mãn điều kiện $x \neq \pm 1$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = -4$. b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\x+y=4\end{array}\right.$ Ta có phương trình thứ hai là $x + y = 4$, suy ra $y = 4 - x$. Thay vào phương trình thứ nhất: $3x - 2(4 - x) = 2$ $3x - 8 + 2x = 2$ $5x - 8 = 2$ $5x = 10$ $x = 2$ Thay $x = 2$ vào phương trình $y = 4 - x$: $y = 4 - 2 = 2$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2, 2)$. c) Giải bất phương trình $\frac{2x-3}{5} - \frac{x+2}{3} \geq 1$ Quy đồng mẫu số: $\frac{3(2x-3) - 5(x+2)}{15} \geq 1$ $\frac{6x - 9 - 5x - 10}{15} \geq 1$ $\frac{x - 19}{15} \geq 1$ Nhân cả hai vế với 15: $x - 19 \geq 15$ $x \geq 34$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \geq 34$. BÀI 2 Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 9 \). Bước 1: Rút gọn biểu thức \( P \). \[ P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x} \] Bước 2: Chuyển biểu thức \( \frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x} \) về dạng có mẫu số chung. \[ 9 - x = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3) \] Do đó: \[ \frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x} = \frac{3 - 11\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức \( P \) bằng cách tìm mẫu số chung. \[ P = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} + \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} + \frac{3 - 11\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \] Bước 4: Cộng các phân số có cùng mẫu số. \[ P = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3) + (3 - 11\sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \] Bước 5: Nhân và rút gọn tử số. \[ 2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) = 2x - 6\sqrt{x} \] \[ (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3) = x + 3\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3 = x + 4\sqrt{x} + 3 \] \[ 3 - 11\sqrt{x} \] Tử số tổng cộng: \[ 2x - 6\sqrt{x} + x + 4\sqrt{x} + 3 + 3 - 11\sqrt{x} = 3x - 13\sqrt{x} + 6 \] Bước 6: Viết lại biểu thức \( P \). \[ P = \frac{3x - 13\sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \] Bước 7: Rút gọn biểu thức \( P \). \[ P = \frac{3x - 13\sqrt{x} + 6}{9 - x} \] Vậy biểu thức \( P \) đã được rút gọn là: \[ P = \frac{3x - 13\sqrt{x} + 6}{9 - x} \] BÀI 3 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức \( P \): - Đầu tiên, ta cần tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức \( P \): \[ x > 0; \quad x \neq 1; \quad x \neq 4 \] - Tiếp theo, ta sẽ rút gọn biểu thức \( P \): \[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} : \left( \frac{x - 2}{x - 4} - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right) \] 2. Tìm giá trị của \( P \) khi \( x = \frac{1}{4} \): - Thay \( x = \frac{1}{4} \) vào biểu thức đã rút gọn để tính giá trị của \( P \). Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Rút gọn biểu thức \( P \) Tìm ĐKXĐ: \[ x > 0; \quad x \neq 1; \quad x \neq 4 \] Rút gọn biểu thức: Ta có: \[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} : \left( \frac{x - 2}{x - 4} - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right) \] Chúng ta sẽ thực hiện phép chia trước: \[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \times \left( \frac{x - 2}{x - 4} - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right)^{-1} \] Tiếp theo, ta sẽ tìm mẫu chung của phân số trong ngoặc: \[ \frac{x - 2}{x - 4} - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x} + 2) - (x - 4)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} \] Tính tử số: \[ (x - 2)(\sqrt{x} + 2) - (x - 4) = x\sqrt{x} + 2x - 2\sqrt{x} - 4 - x + 4 = x\sqrt{x} + x - 2\sqrt{x} \] Vậy: \[ \frac{x - 2}{x - 4} - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x\sqrt{x} + x - 2\sqrt{x}}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} \] Do đó: \[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \times \frac{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{x\sqrt{x} + x - 2\sqrt{x}} \] Chúng ta thấy rằng biểu thức này khá phức tạp, nhưng ta có thể nhận thấy rằng: \[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \times \frac{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{x(\sqrt{x} + 1 - 2)} \] Sau khi rút gọn, ta có: \[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \times \frac{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{x(\sqrt{x} - 1)} \] Bước 2: Tính giá trị của \( P \) khi \( x = \frac{1}{4} \) Thay \( x = \frac{1}{4} \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ P = \frac{\sqrt{\frac{1}{4}}}{\sqrt{\frac{1}{4}} - 2} \times \frac{\left(\frac{1}{4} - 4\right)\left(\sqrt{\frac{1}{4}} + 2\right)}{\frac{1}{4}\left(\sqrt{\frac{1}{4}} - 1\right)} \] Tính các giá trị: \[ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ P = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 2} \times \frac{\left(\frac{1}{4} - 4\right)\left(\frac{1}{2} + 2\right)}{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2} - 1\right)} \] Tính tiếp: \[ P = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{3}{2}} \times \frac{\left(-\frac{15}{4}\right)\left(\frac{5}{2}\right)}{\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)} \] Sau khi tính toán, ta có: \[ P = -\frac{1}{3} \times \frac{-\frac{75}{8}}{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{3} \times 75 = -25 \] Vậy giá trị của \( P \) khi \( x = \frac{1}{4} \) là: \[ P = -25 \] BÀI 4 Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 9 \). Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức \( M \). Phân thức thứ nhất: \[ \frac{3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{x + 9}{x - 9} \] Ta thấy \( x - 9 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3) \), do đó: \[ \frac{x + 9}{x - 9} = \frac{x + 9}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \] Phân thức thứ hai: \[ \frac{2\sqrt{x} - 5}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \] Ta thấy \( x - 3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) \), do đó: \[ \frac{2\sqrt{x} - 5}{x - 3\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \] \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức \( M \). \[ M = \left( \frac{3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{x + 9}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \right) : \left( \frac{2\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \right) \] Tìm mẫu chung và rút gọn: \[ \frac{3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{x + 9}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{3(\sqrt{x} - 3) + (x + 9)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{3\sqrt{x} - 9 + x + 9}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{x + 3\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \] \[ \frac{2\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{(2\sqrt{x} - 5) - (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{2\sqrt{x} - 5 - \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \] Bước 3: Chia hai phân thức đã rút gọn. \[ M = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} : \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \times \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} = \frac{x}{\sqrt{x} - 2} \] Vậy biểu thức \( M \) đã được rút gọn thành: \[ M = \frac{x}{\sqrt{x} - 2} \] Câu2. Gọi giá tiền của 1 kg táo là x (nghìn đồng, điều kiện: x > 0). Giá tiền của 1 kg nho xanh là 2x (nghìn đồng). Theo đề bài ta có: 2x + 3 × 2x = 200 2x + 6x = 200 8x = 200 x = 200 : 8 x = 25 Vậy giá tiền của 1 kg táo là 25 nghìn đồng. Giá tiền của 1 kg nho xanh là: 25 × 2 = 50 (nghìn đồng) Đáp số: Táo: 25 nghìn đồng; Nho xanh: 50 nghìn đồng. Bài 3: Gọi số chi tiết máy tổ Một sản xuất trong tháng 9 là x (chi tiết máy, điều kiện: x > 0). Gọi số chi tiết máy tổ Hai sản xuất trong tháng 9 là y (chi tiết máy, điều kiện: y > 0). Theo đề bài, ta có: x + y = 1100 Tháng 10, tổ Một sản xuất được số chi tiết máy là: x + 0,15x = 1,15x Tháng 10, tổ Hai sản xuất được số chi tiết máy là: y + 0,2y = 1,2y Tổng số chi tiết máy hai tổ sản xuất trong tháng 10 là 1295, nên ta có: 1,15x + 1,2y = 1295 Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 1100 \\ 1,15x + 1,2y = 1295 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số: Từ phương trình đầu tiên, ta có: y = 1100 - x Thay vào phương trình thứ hai: 1,15x + 1,2(1100 - x) = 1295 1,15x + 1320 - 1,2x = 1295 -0,05x + 1320 = 1295 -0,05x = 1295 - 1320 -0,05x = -25 x = \frac{-25}{-0,05} = 500 Thay x = 500 vào y = 1100 - x: y = 1100 - 500 = 600 Vậy, trong tháng 9, tổ Một sản xuất được 500 chi tiết máy và tổ Hai sản xuất được 600 chi tiết máy. Bài 4: Gọi số câu đúng là x (câu, điều kiện: 0 ≤ x ≤ 19) Số câu sai là 19 – x (câu) Tổng số điểm của Nam là: 5 × x – 2 × (19 – x) > 62 5x – 38 + 2x > 62 7x > 100 x > 14,28 Vậy số câu đúng tối thiểu mà Nam đã làm được là 15 câu.