Tìm x nguyên để các biểu thức sau nguyên (x+3)/( √x+ 1)

Để biểu thức $\frac{x+3}{\sqrt{x}+1}$ là số nguyên, ta cần tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho $\sqrt{x}+1$ là ước của $x+3$. Bước 1: Xác định điều kiện xác định: - $\sqrt{x}$ có nghĩa khi $x \geq 0$. - $\sqrt{x} + 1 \neq 0$, tức là $x \neq -1$. Nhưng do $x \geq 0$, nên điều này luôn đúng. Bước 2: Tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho $\sqrt{x} + 1$ là ước của $x + 3$. Ta xét các trường hợp: 1. $\sqrt{x} + 1 = 1$: - $\sqrt{x} = 0$ - $x = 0$ - Kiểm tra: $\frac{0+3}{0+1} = 3$ (nguyên) 2. $\sqrt{x} + 1 = 2$: - $\sqrt{x} = 1$ - $x = 1$ - Kiểm tra: $\frac{1+3}{1+1} = 2$ (nguyên) 3. $\sqrt{x} + 1 = 3$: - $\sqrt{x} = 2$ - $x = 4$ - Kiểm tra: $\frac{4+3}{2+1} = \frac{7}{3}$ (không nguyên) 4. $\sqrt{x} + 1 = 4$: - $\sqrt{x} = 3$ - $x = 9$ - Kiểm tra: $\frac{9+3}{3+1} = 3$ (nguyên) 5. $\sqrt{x} + 1 = 5$: - $\sqrt{x} = 4$ - $x = 16$ - Kiểm tra: $\frac{16+3}{4+1} = \frac{19}{5}$ (không nguyên) 6. $\sqrt{x} + 1 = 6$: - $\sqrt{x} = 5$ - $x = 25$ - Kiểm tra: $\frac{25+3}{5+1} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$ (không nguyên) 7. $\sqrt{x} + 1 = 7$: - $\sqrt{x} = 6$ - $x = 36$ - Kiểm tra: $\frac{36+3}{6+1} = \frac{39}{7}$ (không nguyên) 8. $\sqrt{x} + 1 = 8$: - $\sqrt{x} = 7$ - $x = 49$ - Kiểm tra: $\frac{49+3}{7+1} = \frac{52}{8} = \frac{13}{2}$ (không nguyên) 9. $\sqrt{x} + 1 = 9$: - $\sqrt{x} = 8$ - $x = 64$ - Kiểm tra: $\frac{64+3}{8+1} = \frac{67}{9}$ (không nguyên) 10. $\sqrt{x} + 1 = 10$: - $\sqrt{x} = 9$ - $x = 81$ - Kiểm tra: $\frac{81+3}{9+1} = \frac{84}{10} = \frac{42}{5}$ (không nguyên) Như vậy, các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $\frac{x+3}{\sqrt{x}+1}$ là số nguyên là $x = 0$, $x = 1$, và $x = 9$. Đáp số: $x = 0$, $x = 1$, $x = 9$.