Giải hộ tớ với ah

Câu 4: Để hàm số $y = \frac{-x^2 + 2mx + 5}{x - 1}$ có hai điểm cực trị, ta cần tìm điều kiện của tham số \( m \) sao cho đạo hàm của hàm số có hai nghiệm phân biệt. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{-x^2 + 2mx + 5}{x - 1} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(-2x + 2m)(x - 1) - (-x^2 + 2mx + 5)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 + 2x + 2mx - 2m + x^2 - 2mx - 5}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - 2m - 5}{(x - 1)^2} \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ \frac{-x^2 + 2x - 2m - 5}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ -x^2 + 2x - 2m - 5 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 2x + 2m + 5 = 0 \] Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ \Delta > 0 \] \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m + 5) \] \[ \Delta = 4 - 4(2m + 5) \] \[ \Delta = 4 - 8m - 20 \] \[ \Delta = -8m - 16 \] Yêu cầu: \[ -8m - 16 > 0 \] \[ -8m > 16 \] \[ m < -2 \] Tuy nhiên, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên dương của \( m \). Do đó, không có giá trị nào thỏa mãn điều kiện trên. Kết luận: Tập hợp \( S \) không có phần tử nào, do đó số phần tử của \( S \) là 0. Đáp số: 0 Câu 5: Để ba điểm \(A(2;5;3)\), \(B(3;7;4)\), \(C(a;b;6)\) thẳng hàng thì vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) phải cùng phương. Ta tính vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\): \[ \overrightarrow{AB} = (3-2, 7-5, 4-3) = (1, 2, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (a-2, b-5, 6-3) = (a-2, b-5, 3) \] Để hai vectơ cùng phương, ta có: \[ \frac{a-2}{1} = \frac{b-5}{2} = \frac{3}{1} \] Từ đó suy ra: \[ a - 2 = 3 \Rightarrow a = 5 \] \[ b - 5 = 6 \Rightarrow b = 11 \] Vậy \(a = 5\) và \(b = 11\). Do đó: \[ 2a + b = 2 \times 5 + 11 = 10 + 11 = 21 \] Đáp số: \(2a + b = 21\). Câu 6: Để tìm tọa độ của chân đường cao hạ từ \( A \) xuống \( BC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - 2; 1 + 1; 1 - 3) = (-3; 2; -2) \] 2. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AH} \): \[ \overrightarrow{AH} = H - A = (a - 1; b - 2; c - 3) \] 3. Điều kiện để \( AH \) vuông góc với \( BC \): \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] \[ (a - 1)(-3) + (b - 2)(2) + (c - 3)(-2) = 0 \] \[ -3a + 3 + 2b - 4 - 2c + 6 = 0 \] \[ -3a + 2b - 2c + 5 = 0 \] \[ -3a + 2b - 2c = -5 \quad \text{(1)} \] 4. Tìm vectơ \( \overrightarrow{BH} \): \[ \overrightarrow{BH} = H - B = (a - 2; b + 1; c - 3) \] 5. Điều kiện để \( BH \) cùng phương với \( BC \): \[ \overrightarrow{BH} = k \overrightarrow{BC} \] \[ (a - 2; b + 1; c - 3) = k(-3; 2; -2) \] Từ đây, ta có hệ phương trình: \[ a - 2 = -3k \quad \text{(2)} \] \[ b + 1 = 2k \quad \text{(3)} \] \[ c - 3 = -2k \quad \text{(4)} \] 6. Giải hệ phương trình: Từ (2): \[ a = -3k + 2 \] Từ (3): \[ b = 2k - 1 \] Từ (4): \[ c = -2k + 3 \] Thay vào phương trình (1): \[ -3(-3k + 2) + 2(2k - 1) - 2(-2k + 3) = -5 \] \[ 9k - 6 + 4k - 2 + 4k - 6 = -5 \] \[ 17k - 14 = -5 \] \[ 17k = 9 \] \[ k = \frac{9}{17} \] 7. Tìm tọa độ của \( H \): \[ a = -3 \left(\frac{9}{17}\right) + 2 = -\frac{27}{17} + \frac{34}{17} = \frac{7}{17} \] \[ b = 2 \left(\frac{9}{17}\right) - 1 = \frac{18}{17} - \frac{17}{17} = \frac{1}{17} \] \[ c = -2 \left(\frac{9}{17}\right) + 3 = -\frac{18}{17} + \frac{51}{17} = \frac{33}{17} \] 8. Tính \( P = 17(a + b + c) \): \[ a + b + c = \frac{7}{17} + \frac{1}{17} + \frac{33}{17} = \frac{41}{17} \] \[ P = 17 \times \frac{41}{17} = 41 \] Vậy giá trị của \( P \) là: \[ \boxed{41} \]