ho hình bình hành ABCD có AB BC. Đường phân giác của góc D cắt AB tại M, đường phân giác của góc B cắt CD tại N.

a/ Chứng minh AM = CN.

b/ Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành.

c/ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M và N trên BN và DM. Chứng minh hai đoạn thẳng AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Question

ho hình bình hành ABCD có AB > BC. Đường phân giác của góc D cắt AB tại M, đường phân giác của góc B cắt CD tại N.

a/ Chứng minh AM = CN.

b/ Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành.

c/ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M và N trên BN và DM. Chứng minh hai đoạn thẳng AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Accepted Answer

a) Vì $A B C D$ là hình bình hành nên $A B / / C D$

Suy ra $\widehat{A M D}=\widehat{M D C}$ (Hai góc so le trong) và $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}, \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ (1)
Ví DM là tia phân giác của góc $\mathrm{ADC} \Rightarrow \widehat{A D M}=\widehat{M D C}=\frac{1}{2} \widehat{C D A}$
Suy ra $\widehat{A M D}=\widehat{M D A}$
Do đó tam giác $ADM $ cân tại $A$
Suy ra $AM = AD $ (tính chất)(2)

Vi $BN $ là tia phân giác của góc $\mathrm{ABC} \Rightarrow \widehat{A B N}=\widehat{N B C}=\frac{1}{2} \widehat{A B C}$
Vi $A B C D$ là hình bình hành nên $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$ nên $\widehat{A B N}=\widehat{B N C}$ (Hai góc so le trong)
Suy ra $\widehat{C B N}=\widehat{B N C}$
Do đó tam giác $BCN $ cân tại $C$
Suy ra $\mathrm{CN}=\mathrm{CB}$ (tính chất)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\mathrm{AM}=\mathrm{CN}$
Vậy $A M=C N$

b) Ta có:

$
\begin{aligned}
& \mathrm{AB}=\mathrm{AM}+\mathrm{MB} \
& \mathrm{CD}=\mathrm{CN}+\mathrm{ND}
\end{aligned}
$
Mà $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}, \mathrm{AM}=\mathrm{CN}$ (chứng minh câu a)
Suy ra $MB = ND $
Tứ giác $DMBN $ có:

$
\begin{aligned}
& M B=N D ext { (cmt) } \
& M B / / N D( ext { vì } A B / / C D)
\end{aligned}
$
Suy ra $DMBN $ là hình bình hành
Vậy $DMBN $ là hình bình hành. hình bình hành.

c.Ta có: $D M / / B N, N K \perp D M \Rightarrow N K \perp N B$
$H M \perp B N$
$\Rightarrow N K / / H M$
Do $D M / / B N \Rightarrow M K / / H N$
$\Rightarrow \mathrm{MHNK}$ là hình bình hành $\Rightarrow M N \cap H K$ tại trung điểm mỗi đường
Vì $D M B N$ là hình bình hành $\Rightarrow M N \cap B D$ tại trung điểm mỗi đường
$A B C D$ là hình bình hành $\Rightarrow A C \cap B D$ tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow A C, H K, M N, B D$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow A C \cap M N$ tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow đ p c m$

ho hình bình hành ABCD có AB > BC. Đường phân giác của góc D cắt AB tại M, đường phân giác của góc B cắt CD tại N. a/ Chứng minh AM = CN. b/ Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành. c/ Gọi H, K lầ...