Giúp mình với!

Bài 14: a) Ta có O là trung điểm của AB nên OA = OB = $\frac{1}{2}$AB. O' là trung điểm của BC nên O'B = O'C = $\frac{1}{2}$BC. Mà AB > BC nên OB > O'B. Vậy OB + O'B > O'B suy ra O và O' nằm cùng phía so với đường thẳng BC. Mặt khác OB + O'B = $\frac{1}{2}$AB + $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$(AB + BC) = $\frac{1}{2}$AC = OC. Vậy hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại B. b) Ta có H là trung điểm của AC nên HA = HC. Mà HD vuông góc với AC tại H nên HD là đường cao hạ từ đỉnh D của tam giác ACD. Do đó tam giác ACD cân tại D với DA = DC. Mặt khác, ta có DC là dây cung của đường tròn (O) và HD vuông góc với AC tại H nên HD là đường kính của đường tròn (O). Vậy tam giác DCA nội tiếp đường tròn tâm H. Từ đó suy ra góc DAC = góc DCA = góc DEC (góc nội tiếp cùng chắn cung DC). Vậy tam giác DEC cân tại D với DE = DC. Từ đó suy ra DA = DC = DE. Mặt khác, ta có HD là đường kính của đường tròn (O) nên HD vuông góc với AC tại H. Vậy tam giác DHA và tam giác DHC đều là tam giác vuông cân tại H. Từ đó suy ra DA = DC = DE = DH. Vậy tứ giác ADCE là hình thoi. c) Ta có HD là đường kính của đường tròn (O) nên HD vuông góc với AC tại H. Mà HD là đường kính của đường tròn (O) nên HD vuông góc với DF tại D. Vậy DF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D. Mặt khác, ta có DF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D và DF cắt đường tròn (O') tại F. Vậy theo tính chất tiếp tuyến và dây cung thì góc DFB = góc DBF. Mặt khác, ta có góc DBF = góc EBF (hai góc đối đỉnh). Vậy góc DFB = góc EBF. Từ đó suy ra ba điểm F, B, E thẳng hàng. d) Ta có HD là đường kính của đường tròn (O) nên HD vuông góc với AC tại H. Mà HD là đường kính của đường tròn (O) nên HD vuông góc với DF tại D. Vậy DF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D. Mặt khác, ta có DF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D và DF cắt đường tròn (O') tại F. Vậy theo tính chất tiếp tuyến và dây cung thì góc DFB = góc DBF. Mặt khác, ta có góc DBF = góc EBF (hai góc đối đỉnh). Vậy góc DFB = góc EBF. Từ đó suy ra ba điểm F, B, E thẳng hàng. Vậy HF là tiếp tuyến của đường tròn (O'). Bài 15: Để chứng minh các khẳng định trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và góc liên quan. Phần a) Chứng minh $\widehat{AOP} = 2\widehat{ATB}$: - Ta biết rằng $\widehat{ABT}$ là góc giữa tiếp tuyến và dây cung, do đó $\widehat{ABT} = \widehat{APB}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung). - Xét tam giác $ABT$, ta có $\widehat{BAT} + \widehat{ABT} + \widehat{ATB} = 180^\circ$. Vì $\widehat{ABT} = \widehat{APB}$ nên $\widehat{BAT} + \widehat{APB} + \widehat{ATB} = 180^\circ$. - Xét tam giác $ABP$, ta có $\widehat{BAP} + \widehat{APB} + \widehat{ABP} = 180^\circ$. Vì $\widehat{ABP} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\widehat{BAP} + \widehat{APB} = 90^\circ$. - Từ đây ta có $\widehat{BAT} = \widehat{BAP}$ và $\widehat{ATB} = 90^\circ - \widehat{APB}$. Do đó, $\widehat{AOP} = 2\widehat{APB}$ (góc tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung). Vậy $\widehat{AOP} = 2\widehat{ATB}$. Phần b) Chứng minh $\widehat{APO} = \widehat{PBT}$: - Ta đã biết $\widehat{ABT} = \widehat{APB}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung). - Xét tam giác $ABP$, ta có $\widehat{BAP} + \widehat{APB} + \widehat{ABP} = 180^\circ$. Vì $\widehat{ABP} = 90^\circ$ nên $\widehat{BAP} + \widehat{APB} = 90^\circ$. - Xét tam giác $ABT$, ta có $\widehat{BAT} + \widehat{ABT} + \widehat{ATB} = 180^\circ$. Vì $\widehat{ABT} = \widehat{APB}$ nên $\widehat{BAT} + \widehat{APB} + \widehat{ATB} = 180^\circ$. Do đó, $\widehat{APO} = 90^\circ - \widehat{APB}$ và $\widehat{PBT} = 90^\circ - \widehat{APB}$. Vậy $\widehat{APO} = \widehat{PBT}$. Kết luận: $a)~\widehat{AOP} = 2\widehat{ATB};$ $b)~\widehat{APO} = \widehat{PBT}.$ Bài 16: Bước 1: Xác định tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A, với góc A nhỏ hơn 90 độ. Bước 2: Vẽ đường tròn đường kính AB, cắt cạnh BC và AC lần lượt tại điểm D và E. Bước 3: Vì AB là đường kính của đường tròn, nên mọi điểm trên đường tròn sẽ tạo thành góc vuông với đường kính. Do đó, ta có: - Góc ADB là góc vuông (90 độ). - Góc AEB là góc vuông (90 độ). Bước 4: Xét tam giác ABD và tam giác ABE: - Cả hai tam giác đều có chung cạnh AB. - Cả hai tam giác đều có góc ADB và AEB là góc vuông (90 độ). - Cạnh AD và AE nằm trên đường tròn, do đó chúng bằng nhau (vì cùng là bán kính của đường tròn). Bước 5: Theo định lý Pythagoras, trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Do đó: - Trong tam giác ABD, ta có: \(AB^2 = AD^2 + BD^2\). - Trong tam giác ABE, ta có: \(AB^2 = AE^2 + BE^2\). Bước 6: Vì \(AD = AE\) (cùng là bán kính của đường tròn), nên ta có: \[BD^2 = BE^2\] Bước 7: Từ đây, ta suy ra \(BD = BE\). Kết luận: Ta đã chứng minh được rằng \(BD = BE\).