giúp tôi với

Câu 6: Để tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách AB và BC: - Khoảng cách AB: \[ AB = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-2)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \] - Khoảng cách BC: \[ BC = \sqrt{(-4-2)^2 + (7+1)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{36 + 64 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} \] 2. Tìm tỉ số của hai cạnh AB và BC: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{26}}{2\sqrt{26}} = \frac{1}{2} \] 3. Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm (điểm chia tỉ lệ): - Gọi D là chân đường phân giác trong góc B, thì D nằm trên đoạn thẳng AC và chia đoạn này theo tỉ số $\frac{1}{2}$. - Tọa độ của D được tính bằng công thức: \[ D = \left( \frac{x_1 + kx_2}{1+k}, \frac{y_1 + ky_2}{1+k}, \frac{z_1 + kz_2}{1+k} \right) \] ở đây, A(1, 2, -1), C(-4, 7, 5) và k = 1/2. 4. Thay vào công thức: \[ D = \left( \frac{1 + \frac{1}{2}(-4)}{1+\frac{1}{2}}, \frac{2 + \frac{1}{2}(7)}{1+\frac{1}{2}}, \frac{-1 + \frac{1}{2}(5)}{1+\frac{1}{2}} \right) \] \[ D = \left( \frac{1 - 2}{1.5}, \frac{2 + 3.5}{1.5}, \frac{-1 + 2.5}{1.5} \right) \] \[ D = \left( \frac{-1}{1.5}, \frac{5.5}{1.5}, \frac{1.5}{1.5} \right) \] \[ D = \left( -\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, 1 \right) \] Vậy tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là \(\left( -\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, 1 \right)\). Đáp án đúng là: B. \(\left( -\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, 1 \right)\). Câu 7: Trước tiên, ta cần tìm tọa độ của điểm \(B\) và \(C\). Biết rằng trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ là \(G(2;1;0)\), ta có công thức tính tọa độ trọng tâm: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] Thay tọa độ của \(A(2;-1;3)\) và \(G(2;1;0)\) vào công thức trên, ta có: \[ 2 = \frac{2 + x_B + x_C}{3} \] \[ 1 = \frac{-1 + y_B + y_C}{3} \] \[ 0 = \frac{3 + z_B + z_C}{3} \] Từ đây, ta giải ra tọa độ của \(B\) và \(C\): \[ 2 = \frac{2 + x_B + x_C}{3} \Rightarrow 6 = 2 + x_B + x_C \Rightarrow x_B + x_C = 4 \] \[ 1 = \frac{-1 + y_B + y_C}{3} \Rightarrow 3 = -1 + y_B + y_C \Rightarrow y_B + y_C = 4 \] \[ 0 = \frac{3 + z_B + z_C}{3} \Rightarrow 0 = 3 + z_B + z_C \Rightarrow z_B + z_C = -3 \] Tiếp theo, ta cần tìm \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - 2, y_B + 1, z_B - 3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (x_C - 2, y_C + 1, z_C - 3) \] Sau đó, ta cộng hai vectơ này lại: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = ((x_B - 2) + (x_C - 2), (y_B + 1) + (y_C + 1), (z_B - 3) + (z_C - 3)) \] \[ = (x_B + x_C - 4, y_B + y_C + 2, z_B + z_C - 6) \] Thay các giá trị đã tìm được vào: \[ = (4 - 4, 4 + 2, -3 - 6) \] \[ = (0, 6, -9) \] Vậy tọa độ của \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) là \((0, 6, -9)\). Đáp án đúng là: D. $(0;6;-9)$. Câu 8: Để tìm điểm đối xứng của điểm \( M(2;2;-1) \) qua mặt phẳng \( (Oyz) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu về tính chất đối xứng qua mặt phẳng \( (Oyz) \): - Mặt phẳng \( (Oyz) \) là mặt phẳng đi qua trục \( Oy \) và \( Oz \). - Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng \( (Oyz) \) sẽ có tọa độ \( x \) đổi dấu, còn tọa độ \( y \) và \( z \) giữ nguyên. 2. Áp dụng vào điểm \( M(2;2;-1) \): - Tọa độ \( x \) của điểm \( M \) là 2. Khi đối xứng qua mặt phẳng \( (Oyz) \), tọa độ \( x \) sẽ trở thành \(-2\). - Tọa độ \( y \) và \( z \) của điểm \( M \) lần lượt là 2 và -1. Các tọa độ này giữ nguyên. 3. Tính toán tọa độ của điểm đối xứng: - Tọa độ mới của điểm đối xứng sẽ là \( (-2; 2; -1) \). Do đó, điểm đối xứng của điểm \( M(2;2;-1) \) qua mặt phẳng \( (Oyz) \) là \( M'(-2;2;-1) \). Đáp án đúng là: D. \( M'(-2;2;-1) \). Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$. 2. Tính tích vô hướng của các vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$. 3. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ để tìm $\cos \alpha$. Bước 1: Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$. Ta có: \[ |\overrightarrow{y}|^2 = (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ |\overrightarrow{y}|^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \times 10 = 16 + 9 - 20 = 5 \] \[ |\overrightarrow{y}| = \sqrt{5} \] Tương tự: \[ |\overrightarrow{x}|^2 = (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 + 4|\overrightarrow{b}|^2 - 4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ |\overrightarrow{x}|^2 = 4^2 + 4 \times 3^2 - 4 \times 10 = 16 + 36 - 40 = 12 \] \[ |\overrightarrow{x}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] Bước 2: Tính tích vô hướng của các vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$. Ta có: \[ \overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{x} = (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \] \[ \overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ \overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{x} = |\overrightarrow{a}|^2 - 3 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 2 |\overrightarrow{b}|^2 \] \[ \overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{x} = 16 - 3 \times 10 + 2 \times 9 = 16 - 30 + 18 = 4 \] Bước 3: Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ. \[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{y}| |\overrightarrow{x}|} \] \[ \cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{5} \times 2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{15}}$.