cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC tại D a. chứng minh tam giác ABE cân b. chứng minh BD vuông góc với AE c. chứng minh F thuộc tia Ab sao cho BF = BC và chứng minh F,D,E thẳn...

a. Chứng minh tam giác ABE cân: - Vì tia BD là tia phân giác của góc B, nên ta có $\widehat{ABD} = \widehat{DBC}$. - Tam giác ABC vuông tại A, nên $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90^\circ$. - Do đó, $\widehat{ABD} + \widehat{DBC} = \widehat{ABC}$. - Vì $\widehat{ABD} = \widehat{DBC}$, nên $\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \frac{\widehat{ABC}}{2}$. - Xét tam giác ABE, ta có $\widehat{BAE} = \widehat{ABD}$ (vì tia BD là tia phân giác của góc B). - Do đó, $\widehat{BAE} = \widehat{ABD} = \widehat{DBC}$. - Vì $\widehat{BAE} = \widehat{ABD}$, nên tam giác ABE cân tại B. b. Chứng minh BD vuông góc với AE: - Ta đã chứng minh tam giác ABE cân tại B, nên $\widehat{BAE} = \widehat{ABE}$. - Vì tia BD là tia phân giác của góc B, nên $\widehat{ABD} = \widehat{DBC}$. - Xét tam giác ABD, ta có $\widehat{BAD} + \widehat{ABD} + \widehat{ADB} = 180^\circ$. - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên $\widehat{BAD} = 90^\circ - \widehat{ABD}$. - Do đó, $\widehat{ADB} = 180^\circ - (\widehat{BAD} + \widehat{ABD}) = 180^\circ - (90^\circ - \widehat{ABD} + \widehat{ABD}) = 90^\circ$. - Vậy BD vuông góc với AE. c. Chứng minh F thuộc tia AB sao cho BF = BC và chứng minh F, D, E thẳng hàng: - Gọi F là điểm trên tia AB sao cho BF = BC. - Xét tam giác BCF, ta có BF = BC, nên tam giác BCF cân tại B. - Vì tam giác BCF cân tại B, nên $\widehat{CBF} = \widehat{BCF}$. - Xét tam giác BCD, ta có $\widehat{CBD} = \widehat{BCD}$ (vì tia BD là tia phân giác của góc B). - Vì $\widehat{CBF} = \widehat{BCF}$ và $\widehat{CBD} = \widehat{BCD}$, nên $\widehat{CBF} = \widehat{CBD}$. - Do đó, F, D, E thẳng hàng. d. Chứng minh AE song song với FC: - Ta đã chứng minh tam giác ABE cân tại B, nên $\widehat{BAE} = \widehat{ABE}$. - Vì tia BD là tia phân giác của góc B, nên $\widehat{ABD} = \widehat{DBC}$. - Xét tam giác BCF, ta có BF = BC, nên tam giác BCF cân tại B. - Vì tam giác BCF cân tại B, nên $\widehat{CBF} = \widehat{BCF}$. - Vì $\widehat{BAE} = \widehat{ABE}$ và $\widehat{CBF} = \widehat{BCF}$, nên $\widehat{BAE} = \widehat{BCF}$. - Do đó, AE song song với FC.