rút gọn các biểu thức sau giả sử biểu thức

Bài 11. a) Ta có: \[ \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x}} \right) \] Đầu tiên, ta rút gọn từng phân thức trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x} - 1 + 2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \] Tiếp theo, ta rút gọn phân thức còn lại: \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x}^2 - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] Nhân hai kết quả trên lại: \[ \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) \cdot \left( \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \right) = \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x - 1}{\sqrt{x}(x - 1)} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] Vậy: \[ \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x}} \right) = \frac{1}{\sqrt{x}} \] b) Ta có: \[ \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2} + \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \] Rút gọn từng phân thức: \[ \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} = \sqrt{x} - 2 \] \[ \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + 2 \] Cộng hai kết quả trên lại: \[ (\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} + 2) = 2\sqrt{x} \] Vậy: \[ \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2} + \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} \] c) Ta có: \[ \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2} \right) : \frac{x + 4}{\sqrt{x} + 2} \] Rút gọn từng phân thức trong ngoặc: \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) + 2(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] \[ = \frac{x - 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 4}{x - 4} = \frac{x + 4}{x - 4} \] Chia phân thức này cho phân thức còn lại: \[ \frac{x + 4}{x - 4} : \frac{x + 4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x + 4}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 4} = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 4} \] Vậy: \[ \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2} \right) : \frac{x + 4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 4} \] d) Ta có: \[ \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{3 - \sqrt{x}} \right) : \frac{1}{3 - \sqrt{x}} \] Rút gọn từng phân thức trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{3 - \sqrt{x}} = \frac{3 - \sqrt{x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})} = \frac{3}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})} \] Chia phân thức này cho phân thức còn lại: \[ \frac{3}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})} : \frac{1}{3 - \sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})} \cdot (3 - \sqrt{x}) = \frac{3}{\sqrt{x}} \] Vậy: \[ \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{3 - \sqrt{x}} \right) : \frac{1}{3 - \sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}} \]