tại sao lại không giải giúp tôi

Câu 1. Trước tiên, chúng ta cần xác định các biến và điều kiện của bài toán. Gọi chiều rộng của đáy bể là \( x \) (m). Chiều dài của đáy bể sẽ là \( 3x \) (m). Chiều cao của bể là \( h \) (m). Thể tích của bể là: \[ V = x \cdot 3x \cdot h = 3x^2h \] Biết rằng thể tích \( V = 18 \) m³, ta có: \[ 3x^2h = 18 \] \[ x^2h = 6 \] \[ h = \frac{6}{x^2} \] Diện tích toàn phần của bể (không có nắp) là: \[ S = 2(xh + 3xh) + 3x^2 = 2(4xh) + 3x^2 = 8xh + 3x^2 \] Thay \( h = \frac{6}{x^2} \) vào diện tích toàn phần: \[ S = 8x \left(\frac{6}{x^2}\right) + 3x^2 = \frac{48}{x} + 3x^2 \] Để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho diện tích toàn phần \( S \) là nhỏ nhất. Xét hàm số \( f(x) = \frac{48}{x} + 3x^2 \). Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = -\frac{48}{x^2} + 6x \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ -\frac{48}{x^2} + 6x = 0 \] \[ 6x = \frac{48}{x^2} \] \[ 6x^3 = 48 \] \[ x^3 = 8 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra tính chất của đạo hàm để xác định cực tiểu: \[ f''(x) = \frac{96}{x^3} + 6 \] Tại \( x = 2 \): \[ f''(2) = \frac{96}{8} + 6 = 12 + 6 = 18 > 0 \] Vậy \( x = 2 \) là điểm cực tiểu của hàm số \( f(x) \). Thay \( x = 2 \) vào công thức chiều cao: \[ h = \frac{6}{2^2} = \frac{6}{4} = 1.5 \] Vậy chiều cao của bể là \( 1.5 \) m. Đáp số: Chiều cao của bể là \( 1.5 \) m. Câu 2: Để tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( P(s) \): \[ P'(s) = -\frac{3}{10}s^2 + 12s \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ P'(s) = 0 \] \[ -\frac{3}{10}s^2 + 12s = 0 \] \[ s(-\frac{3}{10}s + 12) = 0 \] \[ s = 0 \quad \text{hoặc} \quad -\frac{3}{10}s + 12 = 0 \] \[ s = 0 \quad \text{hoặc} \quad s = 40 \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( P'(s) \) để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến: - Khi \( s < 0 \), \( P'(s) < 0 \) - Khi \( 0 < s < 40 \), \( P'(s) > 0 \) - Khi \( s > 40 \), \( P'(s) < 0 \) 4. Xác định các cực trị: - \( P(s) \) đạt cực đại tại \( s = 40 \). 5. Kiểm tra giá trị của \( P(s) \) tại các điểm cực trị: \[ P(0) = -\frac{1}{10}(0)^3 + 6(0)^2 + 400 = 400 \] \[ P(40) = -\frac{1}{10}(40)^3 + 6(40)^2 + 400 = -\frac{1}{10}(64000) + 9600 + 400 = -6400 + 9600 + 400 = 3600 \] Như vậy, lợi nhuận tối đa đạt được khi \( s = 40 \) nghìn USD. Đáp số: Số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa là 40 nghìn USD. Câu 3: Để tìm tọa độ điểm \( M \) thuộc đoạn \( AB \) sao cho \( MA = 2MB \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tỉ số \( k \): Vì \( MA = 2MB \), nên tỉ số \( k = \frac{MA}{MB} = 2 \). 2. Áp dụng công thức tọa độ điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số: Tọa độ của điểm \( M \) chia đoạn thẳng \( AB \) theo tỉ số \( k \) được tính bằng công thức: \[ M\left(\frac{x_1 + kx_2}{1 + k}, \frac{y_1 + ky_2}{1 + k}, \frac{z_1 + kz_2}{1 + k}\right) \] Trong đó, \( A(x_1, y_1, z_1) = (3, 1, -2) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) = (2, -3, 5) \). 3. Thay các giá trị vào công thức: \[ M\left(\frac{3 + 2 \cdot 2}{1 + 2}, \frac{1 + 2 \cdot (-3)}{1 + 2}, \frac{-2 + 2 \cdot 5}{1 + 2}\right) \] 4. Tính toán từng thành phần: \[ M\left(\frac{3 + 4}{3}, \frac{1 - 6}{3}, \frac{-2 + 10}{3}\right) = M\left(\frac{7}{3}, \frac{-5}{3}, \frac{8}{3}\right) \] 5. Tìm tổng \( a + b + c \): \[ a + b + c = \frac{7}{3} + \frac{-5}{3} + \frac{8}{3} = \frac{7 - 5 + 8}{3} = \frac{10}{3} \] Vậy, \( a + b + c = \frac{10}{3} \). Đáp số: \( \frac{10}{3} \). Câu 4: Để tìm độ dài đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm \(M\): Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Ta có: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] Tọa độ của \(\overrightarrow{BC}\) là: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (3, -4, 6) - (1, -2, 2) = (2, -2, 4) \] Do đó: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} (2, -2, 4) = (1, -1, 2) \] 2. Tìm tọa độ của điểm \(M\): Giả sử tọa độ của điểm \(B\) là \((x_B, y_B, z_B)\). Tọa độ của điểm \(M\) sẽ là: \[ M = B + \overrightarrow{BM} = (x_B + 1, y_B - 1, z_B + 2) \] 3. Tìm tọa độ của điểm \(A\): Giả sử tọa độ của điểm \(A\) là \((x_A, y_A, z_A)\). Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (1, -2, 2) \] Từ đây suy ra: \[ x_B = x_A + 1, \quad y_B = y_A - 2, \quad z_B = z_A + 2 \] 4. Tìm tọa độ của điểm \(C\): Ta có: \[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (3, -4, 6) \] Từ đây suy ra: \[ x_C = x_A + 3, \quad y_C = y_A - 4, \quad z_C = z_A + 6 \] 5. Tìm tọa độ của điểm \(M\): Thay vào tọa độ của \(B\) và \(C\): \[ M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{(x_A + 1) + (x_A + 3)}{2}, \frac{(y_A - 2) + (y_A - 4)}{2}, \frac{(z_A + 2) + (z_A + 6)}{2} \right) \] \[ M = \left( \frac{2x_A + 4}{2}, \frac{2y_A - 6}{2}, \frac{2z_A + 8}{2} \right) = (x_A + 2, y_A - 3, z_A + 4) \] 6. Tìm độ dài đường trung tuyến \(AM\): Độ dài đoạn thẳng \(AM\) là: \[ AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 + (z_M - z_A)^2} \] Thay tọa độ của \(M\) và \(A\): \[ AM = \sqrt{(x_A + 2 - x_A)^2 + (y_A - 3 - y_A)^2 + (z_A + 4 - z_A)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ AM \approx 5.39 \] Vậy độ dài đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\) là \(5.39\). Câu 5: Trước tiên, ta xác định các điểm và tính toán các đoạn thẳng liên quan trong hình chóp S.ABC. 1. Xác định các điểm: - Điểm A, B, C nằm trên mặt phẳng ABC. - Điểm S nằm trên đỉnh chóp. 2. Tính toán các đoạn thẳng: - Ta biết rằng SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a√2. 3. Xác định tam giác ABC: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A vì AB = AC = a và BC = a√2 (theo định lý Pythagoras). 4. Xác định tam giác SAB, SAC, SBC: - Tam giác SAB, SAC là các tam giác đều vì SA = SB = SC = AB = AC = a. - Tam giác SBC là tam giác cân tại S vì SB = SC = a và BC = a√2. 5. Tìm giao điểm của đường cao từ S xuống đáy ABC: - Gọi H là trung điểm của BC. Vì tam giác SBC là tam giác cân tại S, đường cao SH cũng là đường trung trực của BC. - SH vuông góc với BC tại H. 6. Xác định các đoạn thẳng liên quan: - Ta có BH = HC = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. - Ta tính SH bằng cách sử dụng tam giác vuông SBC: - SH^2 + BH^2 = SB^2 - SH^2 + ($\frac{a\sqrt{2}}{2}$)^2 = a^2 - SH^2 + $\frac{a^2}{2}$ = a^2 - SH^2 = a^2 - $\frac{a^2}{2}$ - SH^2 = $\frac{a^2}{2}$ - SH = $\frac{a}{\sqrt{2}}$ = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. 7. Xác định các đoạn thẳng liên quan đến tam giác SAB và SAC: - Ta có AH = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = a. - Ta tính SAH bằng cách sử dụng tam giác vuông SAH: - SAH^2 + AH^2 = SA^2 - SAH^2 + ($\frac{a\sqrt{2}}{2}$)^2 = a^2 - SAH^2 + $\frac{a^2}{2}$ = a^2 - SAH^2 = a^2 - $\frac{a^2}{2}$ - SAH^2 = $\frac{a^2}{2}$ - SAH = $\frac{a}{\sqrt{2}}$ = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. 8. Tính cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{AB}$: - Ta sử dụng công thức cosin trong tam giác SAB và SAC: - Ta có $\cos(\angle SAB) = \frac{SA^2 + AB^2 - SB^2}{2 \cdot SA \cdot AB} = \frac{a^2 + a^2 - a^2}{2 \cdot a \cdot a} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$. - Ta có $\cos(\angle SAC) = \frac{SA^2 + AC^2 - SC^2}{2 \cdot SA \cdot AC} = \frac{a^2 + a^2 - a^2}{2 \cdot a \cdot a} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$. 9. Kết luận: - Ta thấy rằng góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{AB}$ là góc giữa hai đường thẳng SC và AB trong không gian. - Ta sử dụng công thức cosin trong tam giác SBC: - Ta có $\cos(\angle SBC) = \frac{SB^2 + BC^2 - SC^2}{2 \cdot SB \cdot BC} = \frac{a^2 + (a\sqrt{2})^2 - a^2}{2 \cdot a \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2 + 2a^2 - a^2}{2a^2\sqrt{2}} = \frac{2a^2}{2a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy cosin góc của hai vectơ $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{AB}$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều dài các cạnh AB và BC: - Cạnh AB: \[ AB = \sqrt{(2-1)^2 + (0-2)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] - Cạnh BC: \[ BC = \sqrt{(6-2)^2 + (1-0)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] 2. Tính diện tích hình thang ABCD: Diện tích hình thang ABCD được cho là \(6\sqrt{2}\). Diện tích hình thang được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h \] Trong đó, \(h\) là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song AB và CD. 3. Tìm tọa độ điểm D: Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B, nên CD song song với AB. Ta giả sử tọa độ của D là \((a, b, c)\). 4. Tìm khoảng cách từ D đến AB: Vì CD song song với AB, khoảng cách từ D đến AB sẽ bằng khoảng cách từ C đến AB. Ta tính khoảng cách từ C đến AB: - Vector AB: \[ \overrightarrow{AB} = (2-1, 0-2, -1-1) = (1, -2, -2) \] - Vector AC: \[ \overrightarrow{AC} = (6-1, 1-2, 0-1) = (5, -1, -1) \] - Vector AC trong mặt phẳng vuông góc với AB: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ 5 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (0, -9, 9) \] - Khoảng cách từ C đến AB: \[ d = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|(5, -1, -1) \cdot (0, -9, 9)|}{\sqrt{0^2 + (-9)^2 + 9^2}} = \frac{|0 + 9 - 9|}{\sqrt{162}} = \frac{0}{9\sqrt{2}} = 0 \] 5. Tìm tọa độ điểm D: Vì CD song song với AB, ta có: \[ \overrightarrow{CD} = k \overrightarrow{AB} \] Ta giả sử \(k = 1\): \[ \overrightarrow{CD} = (1, -2, -2) \] Tọa độ của D: \[ D = C + \overrightarrow{CD} = (6, 1, 0) + (1, -2, -2) = (7, -1, -2) \] 6. Tính tổng \(a + b + c\): \[ a + b + c = 7 + (-1) + (-2) = 4 \] Đáp số: \(a + b + c = 4\). Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian và tính khoảng cách giữa hai điểm. Giả sử tháp viễn thông đặt tại điểm \( P(x, y, z) \). Khoảng cách từ điểm \( P \) đến các tòa nhà \( A \), \( B \), và \( C \) lần lượt là: - Khoảng cách từ \( P \) đến \( A \): \[ PA = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] - Khoảng cách từ \( P \) đến \( B \): \[ PB = \sqrt{(x - 6)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + y^2 + z^2} \] - Khoảng cách từ \( P \) đến \( C \): \[ PC = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2 + (z - 2\sqrt{6})^2} \] Tổng khoảng cách từ \( P \) đến ba tòa nhà là: \[ f(x, y, z) = PA + PB + PC = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x - 6)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2 + (z - 2\sqrt{6})^2} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x, y, z) \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, việc tính đạo hàm trực tiếp của hàm số này khá phức tạp. Do đó, chúng ta sẽ dựa vào tính chất hình học và nhận thấy rằng điểm \( P \) nên nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối các điểm \( A \), \( B \), và \( C \). Trung điểm của đoạn thẳng nối \( A \) và \( B \) là: \[ M = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0, 0) \] Trung điểm của đoạn thẳng nối \( A \) và \( C \) là: \[ N = \left( \frac{0 + 3}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{6}}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{6} \right) \] Trung điểm của đoạn thẳng nối \( B \) và \( C \) là: \[ O = \left( \frac{6 + 3}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{6}}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{6} \right) \] Nhận thấy rằng điểm \( P \) nên nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của các đoạn thẳng này. Ta chọn điểm \( P \) là trung điểm của đoạn thẳng nối \( M \) và \( N \): \[ P = \left( \frac{3 + \frac{3}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}, \frac{0 + \sqrt{6}}{2} \right) = \left( \frac{9}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{6}}{2} \right) \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính khoảng cách từ điểm \( P \) đến các tòa nhà \( A \), \( B \), và \( C \): - Khoảng cách từ \( P \) đến \( A \): \[ PA = \sqrt{\left( \frac{9}{4} - 0 \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - 0 \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{6}}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{9}{4} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{81}{16} + \frac{3}{16} + \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{81 + 3 + 24}{16}} = \sqrt{\frac{108}{16}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] - Khoảng cách từ \( P \) đến \( B \): \[ PB = \sqrt{\left( \frac{9}{4} - 6 \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - 0 \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{6}}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{9}{4} - \frac{24}{4} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( -\frac{15}{4} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{225}{16} + \frac{3}{16} + \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{225 + 3 + 24}{16}} = \sqrt{\frac{252}{16}} = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \] - Khoảng cách từ \( P \) đến \( C \): \[ PC = \sqrt{\left( \frac{9}{4} - 3 \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{6}}{2} - 2\sqrt{6} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{9}{4} - \frac{12}{4} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{4\sqrt{3}}{4} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{4\sqrt{6}}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( -\frac{3}{4} \right)^2 + \left( -\frac{3\sqrt{3}}{4} \right)^2 + \left( -\frac{3\sqrt{6}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{27}{16} + \frac{54}{4}} = \sqrt{\frac{9 + 27 + 216}{16}} = \sqrt{\frac{252}{16}} = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \] Tổng khoảng cách từ \( P \) đến ba tòa nhà là: \[ PA + PB + PC = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{7}}{2} + \frac{3\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{7} \] Vậy tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba tòa nhà là: \[ \boxed{\frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{7}} \] Câu 8: Để xác định khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu, chúng ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras trong không gian ba chiều. Bước 1: Xác định tọa độ của mỗi chiếc khinh khí cầu: - Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ (80, -65, 0.7). - Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ (-30, 50, 0.9). Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ vào công thức: \[ d = \sqrt{(-30 - 80)^2 + (50 - (-65))^2 + (0.9 - 0.7)^2} \] \[ d = \sqrt{(-110)^2 + (115)^2 + (0.2)^2} \] \[ d = \sqrt{12100 + 13225 + 0.04} \] \[ d = \sqrt{25325.04} \] \[ d \approx 159.13 \text{ km} \] Vậy khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là khoảng 159 km (làm tròn đến đơn vị kilomet).