giải giúp mình với ạ

Câu 16: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi dựa vào bảng biến thiên đã cho. a) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(3+x).$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$. Do đó, phần này đúng. b) Giá trị cực đại của hàm số là $y=3.$ - Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$ và giá trị cực đại là $y = 3$. Do đó, phần này đúng. c) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình $y=mx+m$ khi đó $m>0.$ - Để tìm tiệm cận xiên, ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \left( f(x) - mx \right) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{a^2 + bx + c}{dx + c} - mx \right) \] - Ta có: \[ f(x) = \frac{a^2 + bx + c}{dx + c} \] \[ \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{a^2 + bx + c}{dx + c} - mx \right) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{a^2 + bx + c - m(dx + c)x}{dx + c} \right) \] - Để có tiệm cận xiên, ta cần: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{a^2 + bx + c - m(dx + c)x}{dx + c} \right) = 0 \] - Điều này xảy ra khi $m = \frac{b}{d}$. Vì từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có tiệm cận xiên và $m > 0$, do đó phần này đúng. d) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. - Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $x = 0$. Thay $x = 0$ vào hàm số: \[ y = f(0) = \frac{a^2 + b \cdot 0 + c}{d \cdot 0 + c} = \frac{a^2 + c}{c} \] - Để có tung độ âm, ta cần: \[ \frac{a^2 + c}{c} < 0 \] - Điều này xảy ra khi $a^2 + c < 0$ và $c < 0$. Tuy nhiên, từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, do đó phần này sai. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 17: Để tìm khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((A'BC)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác \(A'BC\): - Tam giác \(A'BC\) là tam giác đều với cạnh \(a = \sqrt{21}\). - Diện tích tam giác đều \(S_{A'BC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{21})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 21 = \frac{21\sqrt{3}}{4}\). 2. Tính thể tích khối chóp \(M-A'BC\): - Thể tích khối chóp \(M-A'BC\) có thể tính bằng công thức \(V = \frac{1}{3} \times S_{A'BC} \times h\), trong đó \(h\) là khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((A'BC)\). - Mặt khác, thể tích khối chóp \(M-A'BC\) cũng có thể tính bằng cách chia khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) thành hai phần bằng nhau (do \(M\) là trung điểm của \(CC'\)). - Thể tích khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) là \(V_{lăng trụ} = S_{ABC} \times CC' = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times a = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 21 \times \sqrt{21} = \frac{21\sqrt{3} \times \sqrt{21}}{4} = \frac{21 \times 3\sqrt{7}}{4} = \frac{63\sqrt{7}}{4}\). - Thể tích khối chóp \(M-A'BC\) là \(V_{chóp} = \frac{1}{2} V_{lăng trụ} = \frac{1}{2} \times \frac{63\sqrt{7}}{4} = \frac{63\sqrt{7}}{8}\). 3. Liên hệ giữa thể tích và khoảng cách: - Ta có \(V_{chóp} = \frac{1}{3} \times S_{A'BC} \times h\). - Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{63\sqrt{7}}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{21\sqrt{3}}{4} \times h \] - Giải phương trình để tìm \(h\): \[ \frac{63\sqrt{7}}{8} = \frac{21\sqrt{3}}{12} \times h \] \[ \frac{63\sqrt{7}}{8} = \frac{7\sqrt{3}}{4} \times h \] \[ h = \frac{63\sqrt{7}}{8} \times \frac{4}{7\sqrt{3}} = \frac{63\sqrt{7} \times 4}{8 \times 7\sqrt{3}} = \frac{63\sqrt{7}}{14\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{21}}{6} = \frac{3\sqrt{21}}{2} \] Vậy khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((A'BC)\) là \(\frac{3\sqrt{21}}{2}\). Câu 18: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức dân số $S = Ae^{rt}$, trong đó: - $A$ là dân số ban đầu (năm 2021), - $r$ là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, - $t$ là thời gian tính từ năm 2021. Bước 1: Xác định các giá trị đã biết. - Dân số Việt Nam năm 2021 ($A$) là 98,564,407 người. - Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ($r$) là 0,93%, tức là $r = 0,0093$. Bước 2: Viết phương trình dân số theo thời gian. \[ S(t) = 98,564,407 \cdot e^{0,0093t} \] Bước 3: Tìm thời điểm dân số vượt 120 triệu người. \[ 98,564,407 \cdot e^{0,0093t} > 120,000,000 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho 98,564,407 để đơn giản hóa phương trình. \[ e^{0,0093t} > \frac{120,000,000}{98,564,407} \] \[ e^{0,0093t} > 1,2173 \] Bước 5: Lấy logarit tự nhiên (ln) của cả hai vế để giải phương trình mũ. \[ 0,0093t > \ln(1,2173) \] \[ 0,0093t > 0,198 \] Bước 6: Chia cả hai vế cho 0,0093 để tìm giá trị của $t$. \[ t > \frac{0,198}{0,0093} \] \[ t > 21,29 \] Bước 7: Kết luận thời điểm dân số vượt 120 triệu người. Vì $t > 21,29$, nên từ năm 2021 + 22 = 2043 trở đi, dân số Việt Nam sẽ vượt 120 triệu người. Đáp số: Năm 2043. Câu 19: Để tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10 cm, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng liên quan: - Bán kính của nửa đường tròn là \( R = 10 \) cm. - Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( 2x \) (vì nó nằm dọc trên đường kính). - Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \( y \). 2. Liên hệ giữa các đại lượng: - Vì hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn, nên điểm đỉnh của hình chữ nhật sẽ nằm trên nửa đường tròn. - Ta có phương trình của nửa đường tròn: \( x^2 + y^2 = R^2 \). - Thay \( R = 10 \) vào phương trình trên: \[ x^2 + y^2 = 100 \] - Giải phương trình này để tìm \( y \): \[ y = \sqrt{100 - x^2} \] 3. Diện tích của hình chữ nhật: - Diện tích \( S \) của hình chữ nhật là: \[ S = 2x \cdot y = 2x \cdot \sqrt{100 - x^2} \] 4. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích: - Để tìm giá trị lớn nhất của \( S \), ta sử dụng đạo hàm. - Gọi \( f(x) = 2x \sqrt{100 - x^2} \). - Tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2 \left( \sqrt{100 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} \right) \] \[ f'(x) = 2 \left( \sqrt{100 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{100 - x^2}} \right) \] \[ f'(x) = 2 \left( \frac{100 - x^2 - x^2}{\sqrt{100 - x^2}} \right) \] \[ f'(x) = 2 \left( \frac{100 - 2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} \right) \] - Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 100 - 2x^2 = 0 \] \[ 2x^2 = 100 \] \[ x^2 = 50 \] \[ x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 5. Kiểm tra điều kiện xác định: - \( x = 5\sqrt{2} \) nằm trong khoảng \( 0 < x < 10 \). 6. Tính diện tích lớn nhất: - Thay \( x = 5\sqrt{2} \) vào biểu thức diện tích: \[ y = \sqrt{100 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] \[ S = 2x \cdot y = 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 2 \cdot 50 = 100 \text{ cm}^2 \] Kết luận: Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10 cm là 100 cm², đạt được khi \( x = 5\sqrt{2} \). Câu 20: Để kiểm tra xem điểm M (7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra từ nguồn âm tại điểm 1 (3;4;5) với bán kính 10 m hay không, ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm này và so sánh với bán kính của vùng phát âm. Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm 1 (3;4;5) và M (7;10;17). Khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) trong không gian được tính bằng công thức: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (10 - 4)^2 + (17 - 5)^2} \] \[ d = \sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 36 + 144} \] \[ d = \sqrt{196} \] \[ d = 14 \text{ m} \] Bước 2: So sánh khoảng cách vừa tính với bán kính của vùng phát âm. Bán kính của vùng phát âm là 10 m. Khoảng cách từ điểm 1 đến điểm M là 14 m, lớn hơn 10 m. Kết luận: Điểm M (7;10;17) nằm ngoài vùng phát âm với bán kính 10 m nên không nhận được cường độ âm phát ra từ nguồn âm tại điểm 1 (3;4;5). Đáp số: Điểm M không nhận được cường độ âm phát ra từ nguồn âm tại điểm 1.