Giúp mình với!

Câu 16. Để tìm giá trị của biểu thức $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$, ta thực hiện quy đồng để loại bỏ căn thức ở mẫu số. Bước 1: Nhân cả tử số và mẫu số với $\sqrt{3} + 1$: \[ \frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} \] Bước 2: Áp dụng công thức nhân thức đặc biệt $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: \[ = \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2} \] \[ = \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} \] \[ = \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2} \] Bước 3: Rút gọn phân số: \[ = \sqrt{3} + 1 \] Vậy giá trị của biểu thức $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ là $\sqrt{3} + 1$. Đáp án đúng là D. $\sqrt{3} + 1$. Câu 17. Để tìm giá trị của sin C trong tam giác ABC vuông tại A, chúng ta cần biết độ dài cạnh huyền BC. Bước 1: Tính độ dài cạnh huyền BC bằng định lý Pythagoras: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \] Bước 2: Xác định giá trị của sin C: \[ \sin C = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13} \] Vậy giá trị của sin C là: \[ \boxed{\frac{5}{13}} \] Đáp án đúng là: B. $\frac{5}{13}$ Câu 18. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án một để xem liệu nó có đúng hay không. A. $\cot\alpha = \sin\beta$ - Ta biết rằng $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. - $\alpha = 50^\circ$, do đó $\cot 50^\circ = \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ}$. - $\beta = 40^\circ$, do đó $\sin 40^\circ$. - Chúng ta cần kiểm tra xem $\frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ}$ có bằng $\sin 40^\circ$ hay không. - Điều này không đúng vì $\cot 50^\circ$ không bằng $\sin 40^\circ$. B. $\tan\alpha = \cos\beta$ - Ta biết rằng $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. - $\alpha = 50^\circ$, do đó $\tan 50^\circ = \frac{\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ}$. - $\beta = 40^\circ$, do đó $\cos 40^\circ$. - Chúng ta cần kiểm tra xem $\frac{\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ}$ có bằng $\cos 40^\circ$ hay không. - Điều này không đúng vì $\tan 50^\circ$ không bằng $\cos 40^\circ$. C. $\sin\alpha = \cos\beta$ - Ta biết rằng $\sin\alpha = \sin 50^\circ$. - $\beta = 40^\circ$, do đó $\cos 40^\circ$. - Chúng ta cần kiểm tra xem $\sin 50^\circ$ có bằng $\cos 40^\circ$ hay không. - Điều này đúng vì $\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$ (do tính chất $\sin(90^\circ - x) = \cos x$). D. $\tan\alpha = \tan\beta$ - Ta biết rằng $\tan\alpha = \tan 50^\circ$. - $\beta = 40^\circ$, do đó $\tan 40^\circ$. - Chúng ta cần kiểm tra xem $\tan 50^\circ$ có bằng $\tan 40^\circ$ hay không. - Điều này không đúng vì $\tan 50^\circ$ không bằng $\tan 40^\circ$. Vậy phương án đúng là: C. $\sin\alpha = \cos\beta$ Câu 19. Để tính chiều cao của cột cờ, ta sử dụng tỉ số lượng giác của góc $40^\circ$. Trong tam giác vuông, tỉ số giữa chiều cao của cột cờ (đối diện với góc $40^\circ$) và bóng của cột cờ (kề với góc $40^\circ$) là $\tan(40^\circ)$. Ta có: \[ \tan(40^\circ) = \frac{\text{Chiều cao của cột cờ}}{\text{Chiều dài bóng của cột cờ}} \] Biết rằng $\tan(40^\circ) \approx 0,8391$, ta thay vào công thức: \[ 0,8391 = \frac{\text{Chiều cao của cột cờ}}{12} \] Từ đó, ta tính chiều cao của cột cờ: \[ \text{Chiều cao của cột cờ} = 0,8391 \times 12 \] \[ \text{Chiều cao của cột cờ} \approx 10,0692 \] Làm tròn đến mét, ta có: \[ \text{Chiều cao của cột cờ} \approx 10 \text{ m} \] Vậy đáp án đúng là: B. 10 m Câu 20. Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng \(d\) và đường tròn \((O; 4 \text{cm})\), ta cần so sánh khoảng cách từ tâm \(O\) của đường tròn đến đường thẳng \(d\) với bán kính của đường tròn. - Bán kính của đường tròn là 4 cm. - Khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(d\) là 3 cm. So sánh: - Khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(d\) là 3 cm, nhỏ hơn bán kính của đường tròn (4 cm). Do đó, đường thẳng \(d\) cắt đường tròn \((O; 4 \text{cm})\) tại hai điểm. Vậy đáp án đúng là: A. Cắt nhau. Câu 21: a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} - \sqrt{49}$ Ta có: \[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6 \] \[ \sqrt{49} = 7 \] Vậy: \[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} - \sqrt{49} = 6 - 7 = -1 \] b) $\sqrt{(\sqrt{7} - 4)^2} - \sqrt{28}$ Ta có: \[ \sqrt{(\sqrt{7} - 4)^2} = |\sqrt{7} - 4| \] Vì $\sqrt{7} < 4$, nên: \[ |\sqrt{7} - 4| = 4 - \sqrt{7} \] \[ \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \] Vậy: \[ \sqrt{(\sqrt{7} - 4)^2} - \sqrt{28} = 4 - \sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 4 - 3\sqrt{7} \] c) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{13} - \sqrt{81}$ Ta có: \[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{2 \cdot 13} = \sqrt{26} \] \[ \sqrt{81} = 9 \] Vậy: \[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{13} - \sqrt{81} = \sqrt{26} - 9 \] d) $\frac{\sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} - 1}{\sqrt{50}}$ Ta có: \[ \sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} = \sqrt{2} + 1 \] \[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \] Vậy: \[ \frac{\sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} - 1}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2} + 1 - 1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{5} \] Đáp số: a) $-1$ b) $4 - 3\sqrt{7}$ c) $\sqrt{26} - 9$ d) $\frac{1}{5}$ Câu 22: Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \). a) Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4}{\sqrt{x} + 2} \] Quy đồng mẫu số: \[ A = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2 - 4(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] Tính tử số: \[ (\sqrt{x} + 2)^2 - 4(\sqrt{x} - 2) = x + 4\sqrt{x} + 4 - 4\sqrt{x} + 8 = x + 12 \] Tính mẫu số: \[ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4 \] Vậy biểu thức rút gọn là: \[ A = \frac{x + 12}{x - 4} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 14 \): \[ A = \frac{14 + 12}{14 - 4} = \frac{26}{10} = \frac{13}{5} \] Đáp số: \( A = \frac{13}{5} \) Câu 23: a) Giải phương trình \(x^2 - 9 = 3(x - 3)\) Phương pháp: - Đưa phương trình về dạng \(A = B\) rồi chuyển vế để có \(A - B = 0\). - Nhân một多项式乘以一个多项式，然后将方程化为标准形式。 \(x^2 - 9 = 3(x - 3)\) \(x^2 - 9 = 3x - 9\) \(x^2 - 3x = 0\) \(x(x - 3) = 0\) 解得： \(x = 0\) 或 \(x = 3\) b) 解方程组 \(\left\{\begin{array}l3x-2y=4\\4x-3y=5\end{array}\right.\) 方法： - 使用消元法或代入法求解。 首先，我们使用消元法。将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得到： \[9x - 6y = 12\] \[8x - 6y = 10\] 接下来，将这两个方程相减，消去 \(y\)： \[9x - 6y - (8x - 6y) = 12 - 10\] \[x = 2\] 将 \(x = 2\) 代入第一个方程 \(3x - 2y = 4\) 中： \[3(2) - 2y = 4\] \[6 - 2y = 4\] \[-2y = -2\] \[y = 1\] 所以，解为 \(x = 2\) 和 \(y = 1\)。 c) 解方程 \((2x-3)^2 = (x+7)^2\) 方法： - 将方程两边开平方，然后解出 \(x\)。 \((2x-3)^2 = (x+7)^2\) 开平方得： \[2x - 3 = x + 7\] 或 \[2x - 3 = -(x + 7)\] 解第一个方程： \[2x - 3 = x + 7\] \[x = 10\] 解第二个方程： \[2x - 3 = -x - 7\] \[3x = -4\] \[x = -\frac{4}{3}\] 所以，解为 \(x = 10\) 或 \(x = -\frac{4}{3}\)。 d) 解方程组 \(\left\{\begin{array}c3x+2y=4\\x-y=3\end{array}\right.\) 方法： - 使用消元法或代入法求解。 首先，我们使用代入法。从第二个方程中解出 \(x\)： \[x = y + 3\] 将 \(x = y + 3\) 代入第一个方程 \(3x + 2y = 4\) 中： \[3(y + 3) + 2y = 4\] \[3y + 9 + 2y = 4\] \[5y + 9 = 4\] \[5y = -5\] \[y = -1\] 将 \(y = -1\) 代入 \(x = y + 3\) 中： \[x = -1 + 3\] \[x = 2\] 所以，解为 \(x = 2\) 和 \(y = -1\)。 最终答案： a) \(x = 0\) 或 \(x = 3\) b) \(x = 2\) 和 \(y = 1\) c) \(x = 10\) 或 \(x = -\frac{4}{3}\) d) \(x = 2\) 和 \(y = -1\) Câu 24. 1. Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x - 3y = 1 \\ 2x + y = 3 \end{array} \right. \] Ta nhân phương trình thứ hai với 3 để dễ dàng trừ phương trình thứ nhất: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x - 3y = 1 \\ 6x + 3y = 9 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (4x - 3y) + (6x + 3y) = 1 + 9 \\ 10x = 10 \\ x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( 2x + y = 3 \): \[ 2(1) + y = 3 \\ 2 + y = 3 \\ y = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, 1) \). 2. Giải các phương trình sau: a) \( (5x - 4)(4x + 6) = 0 \) Phương trình này đúng nếu một trong hai thừa số bằng 0: \[ 5x - 4 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x + 6 = 0 \] \[ 5x = 4 \quad \text{hoặc} \quad 4x = -6 \] \[ x = \frac{4}{5} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{3}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{4}{5} \) hoặc \( x = -\frac{3}{2} \). b) \( \frac{x+2}{x+3} + \frac{2x-1}{x-3} = \frac{13x-9}{x^2-9} \) Điều kiện xác định: \( x \neq -3 \) và \( x \neq 3 \). Quy đồng mẫu số: \[ \frac{(x+2)(x-3) + (2x-1)(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{13x-9}{(x+3)(x-3)} \] Bỏ mẫu số chung: \[ (x+2)(x-3) + (2x-1)(x+3) = 13x - 9 \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ (x^2 - 3x + 2x - 6) + (2x^2 + 6x - x - 3) = 13x - 9 \\ x^2 - x - 6 + 2x^2 + 5x - 3 = 13x - 9 \\ 3x^2 + 4x - 9 = 13x - 9 \\ 3x^2 + 4x - 13x = 0 \\ 3x^2 - 9x = 0 \\ 3x(x - 3) = 0 \] Phương trình này đúng nếu: \[ 3x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Do điều kiện xác định \( x \neq 3 \), nên ta loại \( x = 3 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 0 \). Đáp số: 1. Nghiệm của hệ phương trình: \( (x, y) = (1, 1) \) 2. a) \( x = \frac{4}{5} \) hoặc \( x = -\frac{3}{2} \) b) \( x = 0 \)