giuptoivoiiii

1. Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB sao cho $MA=3MB.$ Mệnh đề nào sau đây sai? - Ta có $MA = 3MB$, suy ra $AB = MA + MB = 3MB + MB = 4MB$. Do đó: - A. $\overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{MB}$ đúng. - B. $MA = -3MB$ sai vì $MA$ và $MB$ đều là khoảng cách dương. - C. $\overrightarrow{AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ đúng vì $\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{MA} = -3\overrightarrow{MB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$. - D. $\overrightarrow{AM} = -3\overrightarrow{MB}$ đúng vì $\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{MA} = -3\overrightarrow{MB}$. Đáp án: B. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết $A(2;1),~B(7;6),~C(5;-6).$ Tính $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$. - $\overrightarrow{AB} = (7-2, 6-1) = (5, 5)$. - $\overrightarrow{AC} = (5-2, -6-1) = (3, -7)$. Đáp án: $\overrightarrow{AB} = (5, 5)$, $\overrightarrow{AC} = (3, -7)$. 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A với $AB=a.$ Tính $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}$. - $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$. - $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = (-\overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = -\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}$. - Vì $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA} = 0$ (vuông góc) và $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC} = a^2$. - Suy ra $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -a^2$. Đáp án: C. 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow a=(2;1),\overrightarrow b=(3;-2)$ và $\overrightarrow c=2\overrightarrow a+3\overrightarrow b.$ Tọa độ vectơ $\overrightarrow c$ là - $\overrightarrow c = 2(2, 1) + 3(3, -2) = (4, 2) + (9, -6) = (13, -4)$. Đáp án: D. 5. Tam giác ABC có $ABC=45^0,~ACB=60^0$ và $AB=3.$ Tính AC. - Sử dụng định lý sin: $\frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 60^\circ}$. - $\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$. - $AC = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$. Đáp án: D. 6. $\alpha$ là góc tù và $\sin\alpha=\frac{5}{13}.$ Tính $\cos\alpha$. - $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$. - $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$ (vì $\alpha$ là góc tù). Đáp án: A. 7. Tam giác ABC có $a=4,~c=5,~B=150^0.$ Diện tích của $\Delta ABC$ là: - Diện tích $S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5$. Đáp án: B. 8. Tam giác ABC có $A(2;1),~B(-1;2),~C(3;0).$ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABDC là hình bình hành. - Trung điểm của AC là $(\frac{2+3}{2}, \frac{1+0}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$. - Trung điểm của BD cũng là $(\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$. - Suy ra $D = (5, -1)$. Đáp án: D. 9. Tam giác ABC vuông tại A có $AB=\sqrt{5},~AC=2\sqrt{5}.$ Tính $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$. - $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(AB)^2 + (AC)^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{5 + 20} = \sqrt{25} = 5$. Đáp án: C. 10. Hợp $M=(0;3)$ và $N=[2;+\infty).$ Tập hợp $M\cup N$ là - $M \cup N = [0;3] \cup [2;+\infty) = [0;+\infty)$. Đáp án: C. 11. Tam giác đều cạnh 2a. Tính giá trị biểu thức $P=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$. - $P = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos 60^\circ = 2a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} = 2a^2$. Đáp án: B.