giup voi a vện tập 4. Tính $\int^3_0|2x-3|dx.$

Question

Accepted Answer

Để tính tích phân $\int^3_0 |2x - 3| \, dx$, ta cần xét dấu của biểu thức $2x - 3$ trên đoạn $[0, 3]$. Trên đoạn $[0, 3]$, ta thấy: - Khi $x < \frac{3}{2}$, ta có $2x - 3 < 0$. - Khi $x > \frac{3}{2}$, ta có $2x - 3 > 0$. Do đó, ta chia tích phân thành hai phần tại điểm $x = \frac{3}{2}$: $$ \int^3_0 |2x - 3| \, dx = \int^{\frac{3}{2}}_0 -(2x - 3) \, dx + \int^3_{\frac{3}{2}} (2x - 3) \, dx. $$ Bây giờ, ta tính từng phần tích phân này. 1. Tính $\int^{\frac{3}{2}}_0 -(2x - 3) \, dx$: $$ \int^{\frac{3}{2}}_0 -(2x - 3) \, dx = \int^{\frac{3}{2}}_0 (-2x + 3) \, dx. $$ Tích phân từng phần: $$ \int (-2x + 3) \, dx = -x^2 + 3x. $$ Đánh giá tại cận trên và cận dưới: $$ \left[-x^2 + 3x\right]^{\frac{3}{2}}_0 = \left(-\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{2}\right) - (0) = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} = \frac{9}{4}. $$ 2. Tính $\int^3_{\frac{3}{2}} (2x - 3) \, dx$: $$ \int^3_{\frac{3}{2}} (2x - 3) \, dx. $$ Tích phân từng phần: $$ \int (2x - 3) \, dx = x^2 - 3x. $$ Đánh giá tại cận trên và cận dưới: $$ \left[x^2 - 3x\right]^3_{\frac{3}{2}} = \left(3^2 - 3 \cdot 3\right) - \left(\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2}\right) = (9 - 9) - \left(\frac{9}{4} - \frac{9}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{9}{4}. $$ Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: $$ \int^3_0 |2x - 3| \, dx = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}. $$ Vậy, kết quả của tích phân là: $$ \boxed{\frac{9}{2}}. $$