Làm giup voi a

Câu 1. a) Đồ thị hàm số bậc ba có dạng như sau: - Nếu \(a > 0\), đồ thị sẽ có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại. - Nếu \(a < 0\), đồ thị sẽ có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Trong hình vẽ, ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\). Do đó, khẳng định này là đúng. b) Phương trình \(f(x) = m\) có 3 nghiệm phân biệt nếu đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại 3 điểm khác nhau. Từ hình vẽ, ta thấy rằng đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị tại 3 điểm khi \(m\) nằm trong khoảng giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số. Ta thấy rằng giá trị cực tiểu của hàm số là -1 và giá trị cực đại là 4. Do đó, \(m\) phải nằm trong khoảng (-1, 4). Các giá trị nguyên của \(m\) trong khoảng này là: 0, 1, 2, 3. Vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) sao cho phương trình \(f(x) = m\) có 3 nghiệm phân biệt. Khẳng định này là sai. c) Đồ thị hàm số \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) có dạng như sau: - Ta tính đạo hàm: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). - Tìm điểm cực trị: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). - Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: \(f(0) = 2\) và \(f(2) = -2\). Từ đó, ta thấy rằng đồ thị hàm số \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) có điểm cực đại tại \(x = 0\) và giá trị cực đại là 2, và điểm cực tiểu tại \(x = 2\) và giá trị cực tiểu là -2. Điều này không phù hợp với đồ thị đã cho trong hình vẽ. Khẳng định này là sai. d) Gọi \(t = 2\sin x + 1\). Ta có \(t\) thay đổi từ -1 đến 3. Do đó, ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(t)\) trên đoạn [-1, 3]. Từ hình vẽ, ta thấy rằng: - Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(t)\) trên đoạn [-1, 3] là 4 (tại \(t = 2\)). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(t)\) trên đoạn [-1, 3] là -1 (tại \(t = -1\)). Vậy \(M = 4\) và \(m = -1\). Do đó, \(M + m = 4 + (-1) = 3\). Khẳng định này là sai. Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai. Câu 2. a) ĐKXĐ: $x\ne \frac32.$ Tiệm cận đứng của hàm số là $x=\frac32.$ b) $\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x-1}{2x-3}=\frac{1}{2}$ Tiệm cận ngang của hàm số là $y=\frac{1}{2}.$ Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(\frac32;\frac{1}{2}).$ Thay tọa độ điểm $I(\frac32;\frac{1}{2})$ vào phương trình $x-y-1=0$ ta được: $\frac32-\frac{1}{2}-1=0$ (luôn đúng) Vậy tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận thuộc đường thẳng $x-y-1=0.$ c) Thay $x=\frac32$ vào phương trình $2x+y-1=0$ ta được $y=-2.$ Vậy tọa độ điểm $A(\frac32;-2).$ Thay $y=\frac{1}{2}$ vào phương trình $2x+y-1=0$ ta được $x=\frac{1}{4}.$ Vậy tọa độ điểm $B(\frac{1}{4};\frac{1}{2}).$ Diện tích của tam giác $IAB$ là: $S_{IAB}=\frac{1}{2}\times IA\times IB=\frac{1}{2}\times (\frac32+\frac{1}{4})\times (\frac{1}{2}+2)=\frac{25}{16}.$ d) Ta có $y'=\frac{(x-1)'(2x-3)-(x-1)(2x-3)'}{(2x-3)^2}=\frac{-1}{(2x-3)^2}< 0,\forall x\ne \frac32.$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ là: $y-y_0=y'(x-x_0).$ Hay $(2x_0-3)^2(y-\frac{x_0-1}{2x_0-3})=-(x-x_0).$ Với mọi $x_0\ne \frac32,$ đường thẳng trên đi qua điểm cố định $M(3;1).$ Khoảng cách từ điểm $I(\frac32;\frac{1}{2})$ đến đường thẳng đi qua điểm $M(3;1)$ là: $d=\sqrt{(3-\frac32)^2+(1-\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}.$ Ta có $d(I,M)=\sqrt{(3-\frac32)^2+(1-\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}.$ Khoảng cách từ điểm $I$ đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là: $h\le d(I,M)=\frac{\sqrt{10}}{2}.$ Vậy khoảng cách từ điểm $I$ đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{\sqrt{10}}{2}.$ Câu 3. a) Tọa độ của điểm A là $(2;-1;5).$ b) Gọi $C(a;b;c)$ thỏa mãn $\Delta ABC$ nhân $G(1;1;1)$ làm trọng tâm. Khi đó $a+b+c=-4.$ - Trọng tâm của tam giác ABC là G, ta có: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] \[ (1, 1, 1) = \left( \frac{2 + 5 + a}{3}, \frac{-1 - 5 + b}{3}, \frac{5 + 7 + c}{3} \right) \] Từ đây, ta có: \[ \frac{2 + 5 + a}{3} = 1 \Rightarrow 7 + a = 3 \Rightarrow a = -4 \] \[ \frac{-1 - 5 + b}{3} = 1 \Rightarrow -6 + b = 3 \Rightarrow b = 9 \] \[ \frac{5 + 7 + c}{3} = 1 \Rightarrow 12 + c = 3 \Rightarrow c = -9 \] Do đó, $a + b + c = -4 + 9 - 9 = -4.$ c) Nếu $A, B, M(x, y, 1)$ thẳng hàng thì tổng $x + y = 3.$ - Để ba điểm A, B, M thẳng hàng, vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ phải cùng phương: \[ \overrightarrow{AB} = (5 - 2, -5 + 1, 7 - 5) = (3, -4, 2) \] \[ \overrightarrow{AM} = (x - 2, y + 1, 1 - 5) = (x - 2, y + 1, -4) \] Ta có: \[ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{-4}{2} \Rightarrow \frac{x - 2}{3} = -2 \Rightarrow x - 2 = -6 \Rightarrow x = -4 \] \[ \frac{y + 1}{-4} = -2 \Rightarrow y + 1 = 8 \Rightarrow y = 7 \] Do đó, $x + y = -4 + 7 = 3.$ d) Cho $N \in (OXy)$ để $\Delta ABN$ vuông tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. - Điểm N thuộc mặt phẳng Oxy, nên tọa độ của N là $(u, v, 0).$ - Để $\Delta ABN$ vuông tại A, ta có: \[ \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \] Ta có: \[ \overrightarrow{AN} = (u - 2, v + 1, -5) \] \[ \overrightarrow{AB} = (3, -4, 2) \] Tích vô hướng: \[ (u - 2) \cdot 3 + (v + 1) \cdot (-4) + (-5) \cdot 2 = 0 \] \[ 3u - 6 - 4v - 4 - 10 = 0 \] \[ 3u - 4v - 20 = 0 \] \[ 3u - 4v = 20 \] Giải phương trình này, ta có: \[ u = 4, v = -2 \] Do đó, tổng hoành độ và tung độ của điểm N là: \[ u + v = 4 - 2 = 2 \] Đáp số: a) $(2, -1, 5)$ b) $a + b + c = -4$ c) $x + y = 3$ d) $u + v = 2$ Câu 4. Để lập luận từng bước, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tần số xuất hiện của mỗi nhóm tuổi trong cả hai khu vực A và B. 2. Tính tổng số lượng phu nữ trong cả hai khu vực. 3. Tính tần suất tương đối của mỗi nhóm tuổi trong cả hai khu vực. 4. So sánh tần suất tương đối giữa hai khu vực để đưa ra kết luận. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước này một cách chi tiết. Bước 1: Tìm tần số xuất hiện của mỗi nhóm tuổi trong cả hai khu vực A và B. Giả sử dữ liệu từ bảng khảo sát như sau: - Khu vực A: [19;22) - 10 người, [22;25) - 20 người, [25;28) - 30 người, [28;31) - 25 người, [31;34) - 15 người. - Khu vực B: [19;22) - 5 người, [22;25) - 15 người, [25;28) - 25 người, [28;31) - 30 người, [31;34) - 25 người. Bước 2: Tính tổng số lượng phu nữ trong cả hai khu vực. - Tổng số lượng phu nữ trong khu vực A: \(10 + 20 + 30 + 25 + 15 = 100\) người. - Tổng số lượng phu nữ trong khu vực B: \(5 + 15 + 25 + 30 + 25 = 100\) người. Bước 3: Tính tần suất tương đối của mỗi nhóm tuổi trong cả hai khu vực. - Khu vực A: - [19;22): \(\frac{10}{100} = 0.1\) - [22;25): \(\frac{20}{100} = 0.2\) - [25;28): \(\frac{30}{100} = 0.3\) - [28;31): \(\frac{25}{100} = 0.25\) - [31;34): \(\frac{15}{100} = 0.15\) - Khu vực B: - [19;22): \(\frac{5}{100} = 0.05\) - [22;25): \(\frac{15}{100} = 0.15\) - [25;28): \(\frac{25}{100} = 0.25\) - [28;31): \(\frac{30}{100} = 0.3\) - [31;34): \(\frac{25}{100} = 0.25\) Bước 4: So sánh tần suất tương đối giữa hai khu vực để đưa ra kết luận. - Nhóm tuổi [19;22): Khu vực A có tần suất 0.1, khu vực B có tần suất 0.05. Khu vực A có tỷ lệ cao hơn. - Nhóm tuổi [22;25): Khu vực A có tần suất 0.2, khu vực B có tần suất 0.15. Khu vực A có tỷ lệ cao hơn. - Nhóm tuổi [25;28): Khu vực A có tần suất 0.3, khu vực B có tần suất 0.25. Khu vực A có tỷ lệ cao hơn. - Nhóm tuổi [28;31): Khu vực A có tần suất 0.25, khu vực B có tần suất 0.3. Khu vực B có tỷ lệ cao hơn. - Nhóm tuổi [31;34): Khu vực A có tần suất 0.15, khu vực B có tần suất 0.25. Khu vực B có tỷ lệ cao hơn. Kết luận: - Khu vực A có tỷ lệ cao hơn ở nhóm tuổi [19;28). - Khu vực B có tỷ lệ cao hơn ở nhóm tuổi [28;34). Như vậy, dựa trên dữ liệu khảo sát, chúng ta thấy rằng khu vực A có xu hướng kết hôn sớm hơn so với khu vực B, trong khi khu vực B có xu hướng kết hôn muộn hơn.