giuopppvgfg

Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đường parabol và đường thẳng. 2. Tìm điểm M trên đường parabol sao cho đoạn thẳng MH ngắn nhất. 3. Tính độ dài đoạn thẳng MH. Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol và đường thẳng. - Đường parabol có đỉnh $I(0;4)$ và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $x_1 = -2$ và $x_2 = 2$. Phương trình của đường parabol có dạng: \[ y = a(x - 0)^2 + 4 \] Thay điểm $(2, 0)$ vào phương trình: \[ 0 = a(2)^2 + 4 \Rightarrow 0 = 4a + 4 \Rightarrow a = -1 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ y = -x^2 + 4 \] - Đường thẳng đi qua điểm $B\left(\frac{345}{48}, 0\right)$ và $N(0, \frac{345}{64})$. Phương trình đường thẳng có dạng: \[ y = mx + n \] Thay điểm $N(0, \frac{345}{64})$ vào phương trình: \[ \frac{345}{64} = m \cdot 0 + n \Rightarrow n = \frac{345}{64} \] Thay điểm $B\left(\frac{345}{48}, 0\right)$ vào phương trình: \[ 0 = m \cdot \frac{345}{48} + \frac{345}{64} \Rightarrow m \cdot \frac{345}{48} = -\frac{345}{64} \Rightarrow m = -\frac{48}{64} = -\frac{3}{4} \] Vậy phương trình của đường thẳng là: \[ y = -\frac{3}{4}x + \frac{345}{64} \] Bước 2: Tìm điểm M trên đường parabol sao cho đoạn thẳng MH ngắn nhất. Để đoạn thẳng MH ngắn nhất, đoạn thẳng MH phải vuông góc với đường thẳng $BC$. Gọi M có tọa độ $(x_0, y_0)$ trên đường parabol. Ta có: \[ y_0 = -x_0^2 + 4 \] Phương trình tiếp tuyến của đường parabol tại điểm M là: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Trong đó, $f'(x) = -2x$, nên: \[ y - (-x_0^2 + 4) = -2x_0(x - x_0) \] \[ y + x_0^2 - 4 = -2x_0x + 2x_0^2 \] \[ y = -2x_0x + x_0^2 + 4 \] Tiếp tuyến này phải vuông góc với đường thẳng $BC$, tức là tích của các hệ số góc của hai đường thẳng này phải bằng -1: \[ -2x_0 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -1 \Rightarrow \frac{3}{2}x_0 = -1 \Rightarrow x_0 = -\frac{2}{3} \] Thay $x_0 = -\frac{2}{3}$ vào phương trình của đường parabol để tìm $y_0$: \[ y_0 = -\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4 = -\frac{4}{9} + 4 = \frac{32}{9} \] Vậy tọa độ của điểm M là $\left(-\frac{2}{3}, \frac{32}{9}\right)$. Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng MH. Điểm H nằm trên đường thẳng $BC$, ta thay $x = -\frac{2}{3}$ vào phương trình của đường thẳng $BC$ để tìm tọa độ của H: \[ y_H = -\frac{3}{4}\left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{345}{64} = \frac{1}{2} + \frac{345}{64} = \frac{32}{64} + \frac{345}{64} = \frac{377}{64} \] Vậy tọa độ của điểm H là $\left(-\frac{2}{3}, \frac{377}{64}\right)$. Tính độ dài đoạn thẳng MH: \[ MH = \sqrt{\left(-\frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right)\right)^2 + \left(\frac{32}{9} - \frac{377}{64}\right)^2} \] \[ MH = \sqrt{0 + \left(\frac{32}{9} - \frac{377}{64}\right)^2} \] \[ MH = \left|\frac{32}{9} - \frac{377}{64}\right| \] \[ MH = \left|\frac{2048}{576} - \frac{3393}{576}\right| = \left|\frac{-1345}{576}\right| = \frac{1345}{576} \] Đổi đơn vị từ mét sang 10 mét: \[ MH = \frac{1345}{576} \times 10 = \frac{13450}{576} \approx 23.35 \text{ mét} \] Vậy chiều dài của cây cầu là khoảng 23.35 mét.