giup em voi ạ

Câu 1: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. - Đỉnh A có tọa độ (0;0;0). - Đỉnh B nằm trên trục Ox, do đó tọa độ của B là (2;0;0). - Đỉnh D nằm trên trục Oy, do đó tọa độ của D là (0;2;0). - Đỉnh A' nằm trên trục Oz, do đó tọa độ của A' là (0;0;2). Bây giờ, ta cần tính giá trị của \( T = a^2 + b^2 + c^2 \) với tọa độ của đỉnh B là (2;0;0). - \( a = 2 \) - \( b = 0 \) - \( c = 0 \) Do đó: \[ T = a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + 0^2 + 0^2 = 4 + 0 + 0 = 4 \] Vậy, kết quả của \( T \) là 4. Đáp số: \( T = 4 \) Câu 2: Để tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \( t = 2 \) giây, ta cần tính đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \) để tìm được phương trình vận tốc tức thời \( v(t) \). Phương trình chuyển động của chất điểm là: \[ s(t) = -t^3 + 6t^2 + t + 5 \] Ta tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t^2 + t + 5) \] \[ v(t) = -3t^2 + 12t + 1 \] Bây giờ, ta thay \( t = 2 \) vào phương trình vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 1 \] \[ v(2) = -3(4) + 24 + 1 \] \[ v(2) = -12 + 24 + 1 \] \[ v(2) = 13 \] Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \( t = 2 \) giây là 13 mét/giây. Câu 3: Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x + 5 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 5) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các điểm cực trị: - Khi \( x < -1 \), chọn \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \] Do đó, hàm số tăng trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Khi \( -1 < x < 1 \), chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \] Do đó, hàm số giảm trên khoảng \( (-1, 1) \). - Khi \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \] Do đó, hàm số tăng trên khoảng \( (1, \infty) \). Từ đó, ta thấy: - \( x = -1 \) là điểm cực đại. - \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7 \] Vậy giá trị cực đại \( y_{\text{max}} = 7 \). - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3 \] Vậy giá trị cực tiểu \( y_{\text{min}} = 3 \). Bước 5: Tính \( a + b^2 \): \[ a = 7 \] \[ b = 3 \] \[ a + b^2 = 7 + 3^2 = 7 + 9 = 16 \] Vậy kết quả của \( a + b^2 \) là 16. Câu 4: Để tìm số lượng sản phẩm mà nhà máy A nên bán cho nhà máy B mỗi tháng để thu được lợi nhuận lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính doanh thu: Doanh thu từ việc bán x tấn sản phẩm là: \[ R(x) = x \cdot P(x) = x(55 - 0,001x^2) = 55x - 0,001x^3 \] 2. Tính lợi nhuận: Lợi nhuận là doanh thu trừ đi chi phí: \[ L(x) = R(x) - C(x) = (55x - 0,001x^3) - (50 + 30x) = 25x - 0,001x^3 - 50 \] 3. Tìm giá trị cực đại của lợi nhuận: Để tìm giá trị cực đại của lợi nhuận, chúng ta tính đạo hàm của \( L(x) \) và tìm điểm cực đại: \[ L'(x) = 25 - 0,003x^2 \] Đặt \( L'(x) = 0 \): \[ 25 - 0,003x^2 = 0 \] \[ 0,003x^2 = 25 \] \[ x^2 = \frac{25}{0,003} \] \[ x^2 = 8333,33 \] \[ x = \sqrt{8333,33} \approx 91,3 \] 4. Kiểm tra điều kiện: Vì \( x \) phải nằm trong khoảng từ 0 đến 100 tấn, và \( x = 91,3 \) nằm trong khoảng này, nên đây là giá trị tối ưu. 5. Kết luận: Nhà máy A nên bán cho nhà máy B khoảng 91,3 tấn sản phẩm mỗi tháng để thu được lợi nhuận lớn nhất. Đáp số: 91,3 tấn. Câu 5: Giả sử doanh nghiệp giảm giá bán mỗi chiếc xe X là \( x \) triệu đồng (\( x > 0 \)). Số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm \( 50x \) chiếc. Do đó, số lượng xe bán ra trong một năm là: \[ 300 + 50x \] Giá bán mới của mỗi chiếc xe là: \[ 25 - x \] Lợi nhuận từ việc bán mỗi chiếc xe là: \[ (25 - x) - 20 = 5 - x \] Lợi nhuận tổng cộng từ việc bán tất cả các xe trong một năm là: \[ (5 - x)(300 + 50x) \] Ta cần tìm giá trị của \( x \) để lợi nhuận tổng cộng đạt giá trị lớn nhất. Để làm điều này, ta sẽ tìm đạo hàm của biểu thức lợi nhuận và đặt nó bằng 0. Biểu thức lợi nhuận là: \[ f(x) = (5 - x)(300 + 50x) \] Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = (5 - x)'(300 + 50x) + (5 - x)(300 + 50x)' \] \[ f'(x) = (-1)(300 + 50x) + (5 - x)(50) \] \[ f'(x) = -300 - 50x + 250 - 50x \] \[ f'(x) = -100 - 100x \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của \( x \): \[ -100 - 100x = 0 \] \[ -100x = 100 \] \[ x = -1 \] Vì \( x \) phải là số dương, ta kiểm tra lại các giá trị cận biên hoặc các điểm cực đại khác. Ta thấy rằng khi \( x = 1 \), lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Vậy giá bán mới của mỗi chiếc xe là: \[ 25 - 1 = 24 \] Đáp số: 24 triệu đồng. Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định vị trí của chiếc ô tô mô hình trong khung sắt hình hộp chữ nhật và mối liên hệ giữa các điểm trong không gian. Giả sử khung sắt hình hộp chữ nhật có các đỉnh là A, B, C, D (đáy dưới), A', B', C', D' (đáy trên). Chiếc ô tô mô hình được đặt trên mặt đáy dưới của khung sắt, tức là trên mặt phẳng (ABCD). Bây giờ, chúng ta cần xác định vị trí của móc E. Giả sử móc E nằm ở đỉnh A' của khung sắt (đỉnh trên của hình hộp chữ nhật). Chiếc ô tô mô hình được buộc vào móc E, tức là từ điểm trên mặt đáy dưới (ABCD) đến đỉnh A' của khung sắt. Để lập luận từng bước: 1. Xác định vị trí của các đỉnh của khung sắt hình hộp chữ nhật. 2. Xác định vị trí của móc E (ở đỉnh A'). 3. Xác định vị trí của chiếc ô tô mô hình (trên mặt đáy dưới, mặt phẳng (ABCD)). 4. Biểu diễn mối liên hệ giữa chiếc ô tô mô hình và móc E thông qua các đoạn thẳng trong không gian. Vậy, chiếc ô tô mô hình được đặt trên mặt đáy dưới của khung sắt và được buộc vào móc E ở đỉnh A' của khung sắt. Đáp số: Chiếc ô tô mô hình được đặt trên mặt đáy dưới của khung sắt và được buộc vào móc E ở đỉnh A' của khung sắt.