Giúp e với ạ

Câu 4: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(x^2 - 2x + 5)'(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] Tính đạo hàm của tử và mẫu: \[ (x^2 - 2x + 5)' = 2x - 2 \] \[ (x - 1)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)}{(x - 1)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 5}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm \( y' \): Ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc vô định: \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Đạo hàm vô định khi \( x = 1 \) (vì mẫu số bằng 0). Giải phương trình \( x^2 - 2x - 3 = 0 \): \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \] Vậy \( x = 3 \) và \( x = -1 \). 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng xác định: Ta xét dấu của \( y' \) trên các khoảng: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), \( (1, 3) \), và \( (3, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ y' = \frac{(-2)^2 - 2(-2) - 3}{(-2 - 1)^2} = \frac{4 + 4 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Vậy \( y' > 0 \) trên \( (-\infty, -1) \). - Trên khoảng \( (-1, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y' = \frac{0^2 - 2(0) - 3}{(0 - 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3 < 0 \] Vậy \( y' < 0 \) trên \( (-1, 1) \). - Trên khoảng \( (1, 3) \): Chọn \( x = 2 \): \[ y' = \frac{2^2 - 2(2) - 3}{(2 - 1)^2} = \frac{4 - 4 - 3}{1} = -3 < 0 \] Vậy \( y' < 0 \) trên \( (1, 3) \). - Trên khoảng \( (3, +\infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ y' = \frac{4^2 - 2(4) - 3}{(4 - 1)^2} = \frac{16 - 8 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Vậy \( y' > 0 \) trên \( (3, +\infty) \). 4. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (3, +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(-1;1) \text{ và } (3;+\infty). \] Câu 5: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm \( f'(x) \) nhỏ hơn 0. Ta có: \[ f'(x) = x^2 - 5x - 6 \] Để tìm các khoảng mà \( f'(x) < 0 \), ta giải bất phương trình: \[ x^2 - 5x - 6 < 0 \] Trước tiên, ta tìm nghiệm của phương trình: \[ x^2 - 5x - 6 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), với \( a = 1 \), \( b = -5 \), và \( c = -6 \). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Thay các giá trị vào: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \] Phương trình \( x^2 - 5x - 6 = 0 \) có hai nghiệm \( x = -1 \) và \( x = 6 \). Bây giờ, ta xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm này: - Khi \( x < -1 \), chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)^2 - 5(-2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0 \] - Khi \( -1 < x < 6 \), chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = 0^2 - 5(0) - 6 = -6 < 0 \] - Khi \( x > 6 \), chọn \( x = 7 \): \[ f'(7) = 7^2 - 5(7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0 \] Từ đó, ta thấy rằng \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-1, 6) \). Như vậy, hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 6) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~(-1, 6) \] Câu 6: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \frac{x - 2}{x + 3} \) trên đoạn \([0; 4]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x - 2}{x + 3} \right)' = \frac{(x + 3)'(x - 2) - (x + 3)(x - 2)'}{(x + 3)^2} = \frac{1 \cdot (x - 2) - (x + 3) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{x - 2 - x - 3}{(x + 3)^2} = \frac{-5}{(x + 3)^2} \] 2. Xét dấu đạo hàm: \[ y' = \frac{-5}{(x + 3)^2} \] Vì \((x + 3)^2 > 0\) với mọi \(x \neq -3\), nên \(y'\) luôn luôn âm trên đoạn \([0; 4]\). Điều này có nghĩa là hàm số \(y\) là hàm giảm trên đoạn \([0; 4]\). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn: - Tại \(x = 0\): \[ y(0) = \frac{0 - 2}{0 + 3} = \frac{-2}{3} \] - Tại \(x = 4\): \[ y(4) = \frac{4 - 2}{4 + 3} = \frac{2}{7} \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: - \(y(0) = \frac{-2}{3}\) - \(y(4) = \frac{2}{7}\) Trong hai giá trị này, giá trị lớn nhất là \(\frac{2}{7}\). Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{x - 2}{x + 3}\) trên đoạn \([0; 4]\) là \(\frac{2}{7}\), đạt được khi \(x = 4\). Đáp án đúng là: B. \(\frac{2}{7}\). Câu 7: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{-x + 3}{x - 1} \) trên đoạn \([2; 5]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{-x + 3}{x - 1} \right)' = \frac{(-1)(x - 1) - (-x + 3)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-x + 1 + x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2} \] 2. Xét dấu đạo hàm: \[ y' = \frac{-2}{(x - 1)^2} \] Ta thấy rằng \((x - 1)^2 > 0\) với mọi \(x \neq 1\). Do đó, \(y'\) luôn luôn âm trên khoảng \((-\infty, 1)\) và \((1, +\infty)\). 3. Xác định tính chất tăng giảm của hàm số: Vì \(y' < 0\) trên khoảng \((1, +\infty)\), hàm số \(y = \frac{-x + 3}{x - 1}\) là hàm số giảm trên khoảng này. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn \([2; 5]\): - Tại \(x = 2\): \[ y(2) = \frac{-2 + 3}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 \] - Tại \(x = 5\): \[ y(5) = \frac{-5 + 3}{5 - 1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - \(y(2) = 1\) - \(y(5) = -\frac{1}{2}\) Như vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{-x + 3}{x - 1}\) trên đoạn \([2; 5]\) là \(-\frac{1}{2}\), đạt được khi \(x = 5\). Đáp án: C. \(x = 5\). Câu 8: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{x} \), ta thực hiện phép chia \( ax^2 + bx + c \) cho \( x \). Ta có: \[ y = \frac{ax^2 + bx + c}{x} = ax + b + \frac{c}{x} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), thì \( \frac{c}{x} \to 0 \). Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = ax + b \] Từ đồ thị, ta thấy rằng khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), hàm số \( y \) tiến dần về đường thẳng \( y = -x \). Điều này cho thấy rằng \( a = -1 \) và \( b = 0 \). Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = -x \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~y = -x \] Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 1) = 3x^2 - 12x + 9 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Vậy các nghiệm là: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = 3 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi \( x < 1 \), chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 \] - Khi \( 1 < x < 3 \), chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \] - Khi \( x > 3 \), chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \] Từ đó, ta thấy: - \( x = 1 \) là điểm cực đại vì đạo hàm chuyển từ dương sang âm. - \( x = 3 \) là điểm cực tiểu vì đạo hàm chuyển từ âm sang dương. Bước 4: Áp dụng vào biểu thức \( A = 2a + b \): \[ a = 1 \quad \text{(điểm cực đại)} \] \[ b = 3 \quad \text{(điểm cực tiểu)} \] \[ A = 2a + b = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ \boxed{5} \] Câu 10: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = 5x - 1 + \frac{8}{x-1} \), ta cần tìm điểm \( I(a; b) \) sao cho \( f(x) + f(2a - x) = 2b \). Bước 1: Tìm \( f(2a - x) \): \[ f(2a - x) = 5(2a - x) - 1 + \frac{8}{(2a - x) - 1} \] \[ f(2a - x) = 10a - 5x - 1 + \frac{8}{2a - x - 1} \] Bước 2: Tính \( f(x) + f(2a - x) \): \[ f(x) + f(2a - x) = \left( 5x - 1 + \frac{8}{x-1} \right) + \left( 10a - 5x - 1 + \frac{8}{2a - x - 1} \right) \] \[ f(x) + f(2a - x) = 10a - 2 + \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} \] Bước 3: Để \( f(x) + f(2a - x) = 2b \), ta cần: \[ 10a - 2 + \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} = 2b \] Bước 4: Xét giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \left( \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} \right) = 0 \] Do đó: \[ 10a - 2 = 2b \] \[ 5a - 1 = b \] Bước 5: Xét giới hạn khi \( x \to 2a - 1 \): \[ \lim_{x \to 2a - 1} \left( \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} \right) = 0 \] Do đó: \[ 10a - 2 = 2b \] \[ 5a - 1 = b \] Bước 6: Giải hệ phương trình: \[ 5a - 1 = b \] \[ 10a - 2 = 2b \] Thay \( b = 5a - 1 \) vào \( 10a - 2 = 2b \): \[ 10a - 2 = 2(5a - 1) \] \[ 10a - 2 = 10a - 2 \] Điều này đúng, do đó \( a \) và \( b \) thỏa mãn \( b = 5a - 1 \). Bước 7: Tìm giá trị của \( C = a + 3b \): \[ C = a + 3(5a - 1) \] \[ C = a + 15a - 3 \] \[ C = 16a - 3 \] Vì \( a \) và \( b \) thỏa mãn \( b = 5a - 1 \), ta chọn \( a = 1 \) và \( b = 4 \): \[ C = 1 + 3 \times 4 \] \[ C = 1 + 12 \] \[ C = 13 \] Đáp án: A. 13.