Giúp e với ạ Câu 4: Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+5}{x-1}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây ?,$A.~(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty).$ $B.~(-\infty;-1)$ và $(1;3).$,$C.~(-1;1)$ và $(1;3).$ $D.~(-1;1)$ và $(3;+\infty).$,Câu 5: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $R$ thoả mãn $f(x)=x^2-5x-6,\forall x\in\mathbb R$,Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?,$A.~(0;3).$ $B.~(-6;1).$ $C.~(-\infty;-1).$ $D.~(6;+\infty).$,Câu 6: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{x-2}{x+3}$ trên đoạn $[0;4]$ là,$A.~\frac{-2}3.$ $B.~\frac27.$ C. 0. D. 4,Câu 7: Hàm số $y=\frac{-x+3}{x-1}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[2;5]$ tại,$A.~\frac{-1}2.$ $B.~x=1.$ $C.~x=5.$ $D.~x=2$,Câu 8: Cho hàm số $y=\frac{ax^2+bx+c}x,(ac e0)$ có đồ thị như Hình 7.,,Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số hàm số đã cho là đường thẳng,$A.~y=x.$ $B.~y=-x.$ $C.~y=2x.$ $D.~y=-2x.$,Câu 9: Giả sử hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ đạt cực đại tại $x=a$ và đạt cực tiểu tại,$x=b.$ Giá trị của biểu thức $A=2a+b$ là bao nhiêu?,A. 5. B. 1. C. 3. D.8.,Câu 10: Cho đồ thị hàm số $f(x)=5x-1+\frac8{x-1}$ có tâm đối xứng là $I(a;b).$ Giá trị của,biểu thức $C=a+3b$ là bao nhiêu?,A. 13. B. 1. C. 4. D. 7.,.....Hết.....

Question

Giúp e với ạ Câu 4: Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+5}{x-1}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây ?,$A.~(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty).$ $B.~(-\infty;-1)$ và $(1;3).$,$C.~(-1;1)$ và $(1;3).$ $D.~(-1;1)$ và $(3;+\infty).$,Câu 5: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $R$ thoả mãn $f(x)=x^2-5x-6,\forall x\in\mathbb R$,Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?,$A.~(0;3).$ $B.~(-6;1).$ $C.~(-\infty;-1).$ $D.~(6;+\infty).$,Câu 6: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{x-2}{x+3}$ trên đoạn $[0;4]$ là,$A.~\frac{-2}3.$ $B.~\frac27.$ C. 0. D. 4,Câu 7: Hàm số $y=\frac{-x+3}{x-1}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[2;5]$ tại,$A.~\frac{-1}2.$ $B.~x=1.$ $C.~x=5.$ $D.~x=2$,Câu 8: Cho hàm số $y=\frac{ax^2+bx+c}x,(ac
e0)$ có đồ thị như Hình 7.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/b64d1e62fdc847d7b3e8aad95d5fee29.jpg />,Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số hàm số đã cho là đường thẳng,$A.~y=x.$ $B.~y=-x.$ $C.~y=2x.$ $D.~y=-2x.$,Câu 9: Giả sử hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ đạt cực đại tại $x=a$ và đạt cực tiểu tại,$x=b.$ Giá trị của biểu thức $A=2a+b$ là bao nhiêu?,A. 5. B. 1. C. 3. D.8.,Câu 10: Cho đồ thị hàm số $f(x)=5x-1+\frac8{x-1}$ có tâm đối xứng là $I(a;b).$ Giá trị của,biểu thức $C=a+3b$ là bao nhiêu?,A. 13. B. 1. C. 4. D. 7.,.....Hết.....

Accepted Answer

Câu 4: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $ y = \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left( \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} \right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương: $$ y' = \frac{(x^2 - 2x + 5)'(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $$ Tính đạo hàm của tử và mẫu: $$ (x^2 - 2x + 5)' = 2x - 2 $$ $$ (x - 1)' = 1 $$ Thay vào công thức: $$ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)}{(x - 1)^2} $$ Rút gọn biểu thức: $$ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 5}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} $$ 2. Xác định dấu của đạo hàm $ y' $: Ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc vô định: $$ y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} $$ Đạo hàm vô định khi $ x = 1 $ (vì mẫu số bằng 0). Giải phương trình $ x^2 - 2x - 3 = 0 $: $$ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 $$ Vậy $ x = 3 $ và $ x = -1 $. 3. Xét dấu của đạo hàm $ y' $ trên các khoảng xác định: Ta xét dấu của $ y' $ trên các khoảng: $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 1) $, $ (1, 3) $, và $ (3, +\infty) $. - Trên khoảng $ (-\infty, -1) $: Chọn $ x = -2 $: $$ y' = \frac{(-2)^2 - 2(-2) - 3}{(-2 - 1)^2} = \frac{4 + 4 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0 $$ Vậy $ y' > 0 $ trên $ (-\infty, -1) $. - Trên khoảng $ (-1, 1) $: Chọn $ x = 0 $: $$ y' = \frac{0^2 - 2(0) - 3}{(0 - 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3 < 0 $$ Vậy $ y' < 0 $ trên $ (-1, 1) $. - Trên khoảng $ (1, 3) $: Chọn $ x = 2 $: $$ y' = \frac{2^2 - 2(2) - 3}{(2 - 1)^2} = \frac{4 - 4 - 3}{1} = -3 < 0 $$ Vậy $ y' < 0 $ trên $ (1, 3) $. - Trên khoảng $ (3, +\infty) $: Chọn $ x = 4 $: $$ y' = \frac{4^2 - 2(4) - 3}{(4 - 1)^2} = \frac{16 - 8 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0 $$ Vậy $ y' > 0 $ trên $ (3, +\infty) $. 4. Kết luận: Hàm số $ y = \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} $ đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (3, +\infty) $. Vậy đáp án đúng là: $$ D.~(-1;1) \text{ và } (3;+\infty). $$ Câu 5: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $ y = f(x) $, ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm $ f'(x) $ nhỏ hơn 0. Ta có: $$ f'(x) = x^2 - 5x - 6 $$ Để tìm các khoảng mà $ f'(x) < 0 $, ta giải bất phương trình: $$ x^2 - 5x - 6 < 0 $$ Trước tiên, ta tìm nghiệm của phương trình: $$ x^2 - 5x - 6 = 0 $$ Phương trình này có dạng $ ax^2 + bx + c = 0 $, với $ a = 1 $, $ b = -5 $, và $ c = -6 $. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Thay các giá trị vào: $$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} $$ Do đó, ta có hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6 $$ $$ x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1 $$ Phương trình $ x^2 - 5x - 6 = 0 $ có hai nghiệm $ x = -1 $ và $ x = 6 $. Bây giờ, ta xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm này: - Khi $ x < -1 $, chọn $ x = -2 $: $$ f'(-2) = (-2)^2 - 5(-2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0 $$ - Khi $ -1 < x < 6 $, chọn $ x = 0 $: $$ f'(0) = 0^2 - 5(0) - 6 = -6 < 0 $$ - Khi $ x > 6 $, chọn $ x = 7 $: $$ f'(7) = 7^2 - 5(7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0 $$ Từ đó, ta thấy rằng $ f'(x) < 0 $ trên khoảng $ (-1, 6) $. Như vậy, hàm số $ y = f(x) $ nghịch biến trên khoảng $ (-1, 6) $. Do đó, đáp án đúng là: $$ B.~(-1, 6) $$ Câu 6: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \frac{x - 2}{x + 3} $ trên đoạn $[0; 4]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left( \frac{x - 2}{x + 3} \right)' = \frac{(x + 3)'(x - 2) - (x + 3)(x - 2)'}{(x + 3)^2} = \frac{1 \cdot (x - 2) - (x + 3) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{x - 2 - x - 3}{(x + 3)^2} = \frac{-5}{(x + 3)^2} $$ 2. Xét dấu đạo hàm: $$ y' = \frac{-5}{(x + 3)^2} $$ Vì $(x + 3)^2 > 0$ với mọi $x \neq -3$, nên $y'$ luôn luôn âm trên đoạn $[0; 4]$. Điều này có nghĩa là hàm số $y$ là hàm giảm trên đoạn $[0; 4]$. 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn: - Tại $x = 0$: $$ y(0) = \frac{0 - 2}{0 + 3} = \frac{-2}{3} $$ - Tại $x = 4$: $$ y(4) = \frac{4 - 2}{4 + 3} = \frac{2}{7} $$ 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: - $y(0) = \frac{-2}{3}$ - $y(4) = \frac{2}{7}$ Trong hai giá trị này, giá trị lớn nhất là $\frac{2}{7}$. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 3}$ trên đoạn $[0; 4]$ là $\frac{2}{7}$, đạt được khi $x = 4$. Đáp án đúng là: B. $\frac{2}{7}$. Câu 7: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = \frac{-x + 3}{x - 1} $ trên đoạn $[2; 5]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left( \frac{-x + 3}{x - 1} \right)' = \frac{(-1)(x - 1) - (-x + 3)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-x + 1 + x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2} $$ 2. Xét dấu đạo hàm: $$ y' = \frac{-2}{(x - 1)^2} $$ Ta thấy rằng $(x - 1)^2 > 0$ với mọi $x \neq 1$. Do đó, $y'$ luôn luôn âm trên khoảng $(-\infty, 1)$ và $(1, +\infty)$. 3. Xác định tính chất tăng giảm của hàm số: Vì $y' < 0$ trên khoảng $(1, +\infty)$, hàm số $y = \frac{-x + 3}{x - 1}$ là hàm số giảm trên khoảng này. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn $[2; 5]$: - Tại $x = 2$: $$ y(2) = \frac{-2 + 3}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 $$ - Tại $x = 5$: $$ y(5) = \frac{-5 + 3}{5 - 1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - $y(2) = 1$ - $y(5) = -\frac{1}{2}$ Như vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{-x + 3}{x - 1}$ trên đoạn $[2; 5]$ là $-\frac{1}{2}$, đạt được khi $x = 5$. Đáp án: C. $x = 5$. Câu 8: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $ y = \frac{ax^2 + bx + c}{x} $, ta thực hiện phép chia $ ax^2 + bx + c $ cho $ x $. Ta có: $$ y = \frac{ax^2 + bx + c}{x} = ax + b + \frac{c}{x} $$ Khi $ x \to \infty $ hoặc $ x \to -\infty $, thì $ \frac{c}{x} \to 0 $. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $$ y = ax + b $$ Từ đồ thị, ta thấy rằng khi $ x \to \infty $ hoặc $ x \to -\infty $, hàm số $ y $ tiến dần về đường thẳng $ y = -x $. Điều này cho thấy rằng $ a = -1 $ và $ b = 0 $. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $$ y = -x $$ Vậy đáp án đúng là: $$ B.~y = -x $$ Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 $. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ f(x) $: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 1) = 3x^2 - 12x + 9 $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ f'(x) = 0 $$ $$ 3x^2 - 12x + 9 = 0 $$ Chia cả hai vế cho 3: $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ Phương trình này có thể được phân tích thành: $$ (x - 1)(x - 3) = 0 $$ Vậy các nghiệm là: $$ x = 1 \quad \text{và} \quad x = 3 $$ Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi $ x < 1 $, chọn $ x = 0 $: $$ f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 $$ - Khi $ 1 < x < 3 $, chọn $ x = 2 $: $$ f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 $$ - Khi $ x > 3 $, chọn $ x = 4 $: $$ f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 $$ Từ đó, ta thấy: - $ x = 1 $ là điểm cực đại vì đạo hàm chuyển từ dương sang âm. - $ x = 3 $ là điểm cực tiểu vì đạo hàm chuyển từ âm sang dương. Bước 4: Áp dụng vào biểu thức $ A = 2a + b $: $$ a = 1 \quad \text{(điểm cực đại)} $$ $$ b = 3 \quad \text{(điểm cực tiểu)} $$ $$ A = 2a + b = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Vậy giá trị của biểu thức $ A $ là: $$ \boxed{5} $$ Câu 10: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $ f(x) = 5x - 1 + \frac{8}{x-1} $, ta cần tìm điểm $ I(a; b) $ sao cho $ f(x) + f(2a - x) = 2b $. Bước 1: Tìm $ f(2a - x) $: $$ f(2a - x) = 5(2a - x) - 1 + \frac{8}{(2a - x) - 1} $$ $$ f(2a - x) = 10a - 5x - 1 + \frac{8}{2a - x - 1} $$ Bước 2: Tính $ f(x) + f(2a - x) $: $$ f(x) + f(2a - x) = \left( 5x - 1 + \frac{8}{x-1} \right) + \left( 10a - 5x - 1 + \frac{8}{2a - x - 1} \right) $$ $$ f(x) + f(2a - x) = 10a - 2 + \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} $$ Bước 3: Để $ f(x) + f(2a - x) = 2b $, ta cần: $$ 10a - 2 + \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} = 2b $$ Bước 4: Xét giới hạn khi $ x \to 1 $: $$ \lim_{x \to 1} \left( \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} \right) = 0 $$ Do đó: $$ 10a - 2 = 2b $$ $$ 5a - 1 = b $$ Bước 5: Xét giới hạn khi $ x \to 2a - 1 $: $$ \lim_{x \to 2a - 1} \left( \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} \right) = 0 $$ Do đó: $$ 10a - 2 = 2b $$ $$ 5a - 1 = b $$ Bước 6: Giải hệ phương trình: $$ 5a - 1 = b $$ $$ 10a - 2 = 2b $$ Thay $ b = 5a - 1 $ vào $ 10a - 2 = 2b $: $$ 10a - 2 = 2(5a - 1) $$ $$ 10a - 2 = 10a - 2 $$ Điều này đúng, do đó $ a $ và $ b $ thỏa mãn $ b = 5a - 1 $. Bước 7: Tìm giá trị của $ C = a + 3b $: $$ C = a + 3(5a - 1) $$ $$ C = a + 15a - 3 $$ $$ C = 16a - 3 $$ Vì $ a $ và $ b $ thỏa mãn $ b = 5a - 1 $, ta chọn $ a = 1 $ và $ b = 4 $: $$ C = 1 + 3 \times 4 $$ $$ C = 1 + 12 $$ $$ C = 13 $$ Đáp án: A. 13.