Hbbvfdfbbfx

Câu 9. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm \( f'(x) \) nhỏ hơn 0. Ta có: \[ f'(x) = (-4x - 5)(5x + 4) \] Để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0, ta giải phương trình: \[ (-4x - 5)(5x + 4) = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ -4x - 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{4} \] \[ 5x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{5} \] Như vậy, đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0 tại \( x = -\frac{5}{4} \) và \( x = -\frac{4}{5} \). Tiếp theo, ta xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm này: - Khi \( x < -\frac{5}{4} \): \[ -4x - 5 > 0 \quad \text{và} \quad 5x + 4 < 0 \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) - Khi \( -\frac{5}{4} < x < -\frac{4}{5} \): \[ -4x - 5 < 0 \quad \text{và} \quad 5x + 4 < 0 \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) - Khi \( x > -\frac{4}{5} \): \[ -4x - 5 < 0 \quad \text{và} \quad 5x + 4 > 0 \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) Từ đó, ta thấy rằng đạo hàm \( f'(x) \) nhỏ hơn 0 trên các khoảng \( (-\infty; -\frac{5}{4}) \) và \( (-\frac{4}{5}; +\infty) \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty; -\frac{5}{4}) \) và \( (-\frac{4}{5}; +\infty) \). Trong các đáp án được đưa ra, chỉ có khoảng \( (-\frac{5}{4}; +\infty) \) nằm trong các khoảng mà đạo hàm nhỏ hơn 0. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(-\frac{5}{4}; +\infty) \] Câu 10. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trọng số trung tâm của mỗi nhóm. - Nhân trọng số trung tâm của mỗi nhóm với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các kết quả trên lại và chia cho tổng số lượng mẫu. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trọng số trung tâm và trung bình cộng. - Nhân kết quả trên với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các kết quả trên lại và chia cho tổng số lượng mẫu. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước này. Bước 1: Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu Trọng số trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [0; 3): Trọng số trung tâm là $\frac{0 + 3}{2} = 1.5$ - Nhóm [3; 6): Trọng số trung tâm là $\frac{3 + 6}{2} = 4.5$ - Nhóm [6; 9): Trọng số trung tâm là $\frac{6 + 9}{2} = 7.5$ - Nhóm [9; 12): Trọng số trung tâm là $\frac{9 + 12}{2} = 10.5$ - Nhóm [12; 15): Trọng số trung tâm là $\frac{12 + 15}{2} = 13.5$ Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(1.5 \times 3) + (4.5 \times 15) + (7.5 \times 9) + (10.5 \times 7) + (13.5 \times 1)}{3 + 15 + 9 + 7 + 1} \] \[ = \frac{4.5 + 67.5 + 67.5 + 73.5 + 13.5}{45} \] \[ = \frac{226.5}{45} = 4.99 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai được tính bằng công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó: - \(f_i\) là tần số của nhóm thứ i. - \(x_i\) là trọng số trung tâm của nhóm thứ i. - \(\bar{x}\) là trung bình cộng của mẫu số liệu. - \(n\) là tổng số lượng mẫu. Ta tính từng phần: \[ (1.5 - 4.99)^2 = (-3.49)^2 = 12.1801 \] \[ (4.5 - 4.99)^2 = (-0.49)^2 = 0.2401 \] \[ (7.5 - 4.99)^2 = (2.51)^2 = 6.3001 \] \[ (10.5 - 4.99)^2 = (5.51)^2 = 30.3601 \] \[ (13.5 - 4.99)^2 = (8.51)^2 = 72.4201 \] Nhân với tần số tương ứng: \[ 3 \times 12.1801 = 36.5403 \] \[ 15 \times 0.2401 = 3.6015 \] \[ 9 \times 6.3001 = 56.7009 \] \[ 7 \times 30.3601 = 212.5207 \] \[ 1 \times 72.4201 = 72.4201 \] Cộng tất cả các kết quả trên lại: \[ 36.5403 + 3.6015 + 56.7009 + 212.5207 + 72.4201 = 381.7835 \] Chia cho tổng số lượng mẫu: \[ s^2 = \frac{381.7835}{45} = 8.484 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 8.484. Do đó, đáp án đúng là B. 3,89. Câu 11. Để tìm tọa độ của vectơ $-3\overrightarrow{a} - 12$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của vectơ $-3\overrightarrow{a}$: \[ \overrightarrow{a} = (7; 8; 1) \] Nhân mỗi thành phần của vectơ $\overrightarrow{a}$ với $-3$: \[ -3\overrightarrow{a} = (-3 \times 7; -3 \times 8; -3 \times 1) = (-21; -24; -3) \] 2. Tìm tọa độ của vectơ $-12$: Vectơ $-12$ có nghĩa là vectơ $(0; 0; -12)$. 3. Tính tổng của hai vectơ $-3\overrightarrow{a}$ và $-12$: \[ -3\overrightarrow{a} - 12 = (-21; -24; -3) + (0; 0; -12) = (-21 + 0; -24 + 0; -3 - 12) = (-21; -24; -15) \] Như vậy, tọa độ của vectơ $-3\overrightarrow{a} - 12$ là $(-21; -24; -15)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~(-31; -14; -2) \] Tuy nhiên, theo các tính toán trên, đáp án đúng là $(-21; -24; -15)$. Vì vậy, có thể có lỗi trong các lựa chọn đã cho. Câu 12. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{3 - x}{2x + 3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đường thẳng \( y = x \) và đường thẳng \( y = -x \) với đồ thị hàm số: - Giao điểm của đường thẳng \( y = x \) với đồ thị hàm số: \[ x = \frac{3 - x}{2x + 3} \] Nhân cả hai vế với \( 2x + 3 \): \[ x(2x + 3) = 3 - x \] \[ 2x^2 + 3x = 3 - x \] \[ 2x^2 + 4x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}, \quad x_2 = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2} \] - Giao điểm của đường thẳng \( y = -x \) với đồ thị hàm số: \[ -x = \frac{3 - x}{2x + 3} \] Nhân cả hai vế với \( 2x + 3 \): \[ -x(2x + 3) = 3 - x \] \[ -2x^2 - 3x = 3 - x \] \[ -2x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{-4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{-4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{-4} = \frac{-1 \mp \sqrt{7}}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{2} \] 2. Tìm trung điểm của các giao điểm trên: - Trung điểm của các giao điểm của đường thẳng \( y = x \) với đồ thị hàm số: \[ x_{\text{trung điểm}} = \frac{\left(\frac{-2 + \sqrt{10}}{2}\right) + \left(\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}\right)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ y_{\text{trung điểm}} = -1 \] Điểm trung điểm là \( (-1, -1) \). - Trung điểm của các giao điểm của đường thẳng \( y = -x \) với đồ thị hàm số: \[ x_{\text{trung điểm}} = \frac{\left(\frac{-1 + \sqrt{7}}{2}\right) + \left(\frac{-1 - \sqrt{7}}{2}\right)}{2} = \frac{-1}{2} \] \[ y_{\text{trung điểm}} = \frac{1}{2} \] Điểm trung điểm là \( \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \). 3. Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: \( \left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right) \) - Đáp án B: \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \) - Đáp án C: \( \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right) \) - Đáp án D: \( \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \) Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án B: \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \) là đúng. Đáp án: B. \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \) Câu 1. a) Ta có: \[ \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} = (4, -8, -1) - (2, -8, -7) = (4 - 2, -8 + 8, -1 + 7) = (2, 0, 6) \] Vậy \(\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} = (2, 0, 6)\). b) Ta có: \[ -4\overrightarrow{v} = -4(4, -8, -1) = (-16, 32, 4) \] \[ -4\overrightarrow{u} = -4(2, -8, -7) = (-8, 32, 28) \] \[ -4\overrightarrow{v} - 4\overrightarrow{u} = (-16, 32, 4) + (-8, 32, 28) = (-16 - 8, 32 + 32, 4 + 28) = (-24, 64, 32) \] Vậy \(-4\overrightarrow{v} - 4\overrightarrow{u} = (-24, 64, 32)\). c) Ta có: \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{4^2 + (-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9 \] Vậy \(|\overrightarrow{v}| = 9\). d) Ta có: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + (-8)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 64 + 49} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \] \[ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = 4 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) + (-1) \cdot (-7) = 8 + 64 + 7 = 79 \] \[ \cos(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}) = \frac{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{v}| |\overrightarrow{u}|} = \frac{79}{9 \cdot 3\sqrt{13}} = \frac{79}{27\sqrt{13}} = \frac{79\sqrt{13}}{351} \] Vậy \(\cos(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}) = \frac{79\sqrt{13}}{351}\). Đáp số: a) \((2, 0, 6)\) b) \((-24, 64, 32)\) c) \(9\) d) \(\frac{79\sqrt{13}}{351}\) Câu 2. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính số trung bình của mẫu số liệu Ta tính số trung bình của mẫu số liệu bằng cách lấy tổng các giá trị nhân với tần suất rồi chia cho tổng số lượng. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Cân nặng (kg) & Số người & Trung điểm & Số người × Trung điểm \\ \hline [43; 48) & 2 & 45,5 & 2 \times 45,5 = 91 \\ \hline [48; 53) & 9 & 50,5 & 9 \times 50,5 = 454,5 \\ \hline [53; 58) & 18 & 55,5 & 18 \times 55,5 = 999 \\ \hline [58; 63) & 21 & 60,5 & 21 \times 60,5 = 1270,5 \\ \hline [63; 68) & 6 & 65,5 & 6 \times 65,5 = 393 \\ \hline \end{array} \] Tổng số người: \[ 2 + 9 + 18 + 21 + 6 = 56 \] Tổng các giá trị nhân với tần suất: \[ 91 + 454,5 + 999 + 1270,5 + 393 = 3118 \] Số trung bình của mẫu số liệu: \[ \frac{3118}{56} \approx 55,68 \] Vậy khẳng định a) là sai vì số trung bình của mẫu số liệu không bằng 53,80. Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai của mẫu số liệu được tính bằng công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \] Trong đó, \(f_i\) là tần suất của nhóm thứ i, \(x_i\) là trung điểm của nhóm thứ i, \(\bar{x}\) là số trung bình của mẫu số liệu. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Cân nặng (kg) & Số người & Trung điểm & (Trung điểm - Số trung bình)^2 & Số người × (Trung điểm - Số trung bình)^2 \\ \hline [43; 48) & 2 & 45,5 & (45,5 - 55,68)^2 = 103,69 & 2 \times 103,69 = 207,38 \\ \hline [48; 53) & 9 & 50,5 & (50,5 - 55,68)^2 = 26,69 & 9 \times 26,69 = 240,21 \\ \hline [53; 58) & 18 & 55,5 & (55,5 - 55,68)^2 = 0,03 & 18 \times 0,03 = 0,54 \\ \hline [58; 63) & 21 & 60,5 & (60,5 - 55,68)^2 = 23,04 & 21 \times 23,04 = 483,84 \\ \hline [63; 68) & 6 & 65,5 & (65,5 - 55,68)^2 = 96,04 & 6 \times 96,04 = 576,24 \\ \hline \end{array} \] Tổng các giá trị nhân với tần suất: \[ 207,38 + 240,21 + 0,54 + 483,84 + 576,24 = 1508,21 \] Phương sai của mẫu số liệu: \[ s^2 = \frac{1508,21}{56-1} = \frac{1508,21}{55} \approx 27,42 \] Vậy khẳng định b) là sai vì phương sai của mẫu số liệu không bằng 49,73. Bước 3: Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{27,42} \approx 5,24 \] Vậy khẳng định c) là sai vì độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không bằng 7,59. Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy Q3 - Q1. Q1 là giá trị ở vị trí \(\frac{n+1}{4}\) = \(\frac{56+1}{4}\) = 14,25, tức là ở nhóm [48; 53). Q3 là giá trị ở vị trí \(\frac{3(n+1)}{4}\) = \(\frac{3(56+1)}{4}\) = 42,75, tức là ở nhóm [58; 63). Q1 = 50,5 + \(\frac{(14,25 - 11) \times 5}{9}\) = 50,5 + \(\frac{3,25 \times 5}{9}\) = 50,5 + 1,81 = 52,31 Q3 = 60,5 + \(\frac{(42,75 - 39) \times 5}{21}\) = 60,5 + \(\frac{3,75 \times 5}{21}\) = 60,5 + 0,89 = 61,39 Khoảng tứ phân vị: \[ Q3 - Q1 = 61,39 - 52,31 = 9,08 \] Vậy khẳng định d) là sai vì khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu không bằng 13,32. Kết luận - Khẳng định a) là sai. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là sai. - Khẳng định d) là sai. Câu 3. a) Đúng vì hàm số có dạng phân thức đại số, do đó tập xác định của nó là tất cả các giá trị thực của \( x \) ngoại trừ những giá trị làm mẫu số bằng 0. Trong trường hợp này, mẫu số là \( 3x - 4 \). Để mẫu số không bằng 0, ta có: \[ 3x - 4 \neq 0 \] \[ 3x \neq 4 \] \[ x \neq \frac{4}{3} \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{4}{3} \right\} \). b) Đúng vì để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{6x^2 + 3x + 3}{3x - 4} \), ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(6x^2 + 3x + 3)'(3x - 4) - (6x^2 + 3x + 3)(3x - 4)'}{(3x - 4)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (6x^2 + 3x + 3)' = 12x + 3 \] \[ (3x - 4)' = 3 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{(12x + 3)(3x - 4) - (6x^2 + 3x + 3)(3)}{(3x - 4)^2} \] Tính tiếp: \[ y' = \frac{36x^2 - 48x + 9x - 12 - 18x^2 - 9x - 9}{(3x - 4)^2} \] \[ y' = \frac{36x^2 - 48x - 18x^2 - 21}{(3x - 4)^2} \] \[ y' = \frac{18x^2 - 48x - 21}{(3x - 4)^2} \] Như vậy, đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{36x^2 - 48x - 21}{(3x - 4)^2} \] Đáp số: a) Đúng b) Đúng